Проблема остановки

Проблема остановки (англ. Halting problem) — одна из проблем в теории алгоритмов^[1], которая может неформально быть поставлена в виде:

Даны описание процедуры и её начальные входные данные. Требуется определить: завершится ли когда-либо выполнение процедуры с этими данными; либо, что процедура всё время будет работать без остановки.

Алан Тьюринг доказал в 1936 году, что проблема остановки неразрешима на машине Тьюринга. Другими словами, не существует общего алгоритма решения этой проблемы^[2].

Проблема остановки занимает центральное место в теории вычислимости, поскольку представляет собой первый пример задачи, которую невозможно решить алгоритмическим путём.

В терминах функций проблему можно доступно описать следующим образом:

Для любой функции F(G, start_state), которая может определять, останавливается ли другая функция, всегда можно написать такую функцию G(start_state), при передаче которой в F результат выполнения будет противоположен тому, который предсказывает F.

Для многих других задач^{[каких?]} можно доказать их алгоритмическую неразрешимость, попытавшись свести их к проблеме остановки. Это делается по схеме "от противного": пусть есть некая задача, для которой требуется установить её неразрешимость. Тогда, предположим, что она разрешима, и попытаемся, используя этот факт, написать алгоритм решения проблемы остановки. Если это удастся, то мы придем к противоречию, ведь известно, что не существует алгоритма решения проблемы остановки. А значит, предположение было неверным и исходная задача также неразрешима.

Доказательство

Рассмотрим множество ${\displaystyle S}$ алгоритмов, которые принимают на вход натуральное число и на выходе тоже выдают натуральное число. Выберем какой-нибудь полный по Тьюрингу язык программирования. Каждый алгоритм можно записать в виде конечной последовательности символов на этом языке. Упорядочим множество ${\displaystyle S}$ по алфавиту. При этом каждый алгоритм получит свой порядковый номер; более того существует алгоритм, который по номеру элемента ${\displaystyle S}$ восстанавливает его код в выбранном языке программирования. Назовем Анализатором гипотетический алгоритм, который получает на вход пару натуральных чисел ${\displaystyle (N,X)}$, и:

• останавливается и возвращает 1, если алгоритм с номером ${\displaystyle N}$ не останавливается, получив на вход ${\displaystyle X}$
• не останавливается в противном случае (если алгоритм с номером ${\displaystyle N}$ останавливается, получив на вход ${\displaystyle X}$).

Проблему остановки можно переформулировать следующим образом: существует ли Анализатор?

Теорема. Анализатора не существует.

Докажем это от противного. Допустим, Анализатор существует. Напишем алгоритм Диагонализатор, который принимает на вход число ${\displaystyle N}$, передает пару аргументов ${\displaystyle (N,N)}$ Анализатору и возвращает результат его работы. Другими словами, Диагонализатор останавливается в том и только том случае, если не останавливается алгоритм с номером ${\displaystyle N}$, получив на вход число ${\displaystyle N}$. Пусть ${\displaystyle K}$ — это порядковый номер Диагонализатора в множестве ${\displaystyle S}$. Запустим Диагонализатор, передав ему это число ${\displaystyle K}$. Диагонализатор остановится в том и только том случае, если алгоритм с номером ${\displaystyle K}$ (то есть, он сам) не останавливается, получив на вход число ${\displaystyle K}$ (какое мы ему и передали). Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно: Анализатора не существует, что и требовалось доказать.

См. также

• Граф потока управления может быть использован для быстрой категоризации, когда программа не имеет циклов (и поэтому останавливается), имеет тривиальные циклы (и поэтому останавливается), имеет нетривиальные циклы (неразрешимо) или входит в бесконечный цикл.

Примечания

1. Н. К. Верещагин, А. Шень Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции Архивная копия от 12 ноября 2015 на Wayback Machine
2. Turing A. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society — London Mathematical Society, 1937. — Vol. s2-42, Iss. 1. — P. 230—265. — ISSN 0024-6115; 1460-244X; 0024-6115 — doi:10.1112/PLMS/S2-42.1.230 (в этой публикации Тьюринг вводит определение машины Тьюринга, формулирует проблему зависания и показывает, что она, также как и проблема разрешения, неразрешима).

Ссылки

• c2:HaltingProblem
• Проблема зависания (англ.)