Принцип соответствия границ

Принцип соответствия границ или теорема Каратеодори:

Если ${\displaystyle f}$ конформно отображает область ${\displaystyle G}$ на область ${\displaystyle G'}$ и границы областей жордановы, то ${\displaystyle f}$ можно продолжить до гомеоморфизма ${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}}$.

Замечания

• В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Вариации и обобщения

Теорема Шварца о соответствии границ:

Если ${\displaystyle f}$ конформно отображает область ${\displaystyle G}$ на область ${\displaystyle G'}$, притом кривые ${\displaystyle \partial G}$ и ${\displaystyle \partial G'}$ являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения ${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}}$.

Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

Замечания

• Также верен обратный принцип соответствия границ: Пусть ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ - ограниченные области с кусочно-гладкой границей и функция ${\displaystyle f}$, голоморфная на ${\displaystyle D_{1}}$ и непрерывная на ${\displaystyle {\overline {D_{1}}}}$, биективно отображает ${\displaystyle \partial D_{1}}$ на ${\displaystyle \partial D_{2}}$, тогда ${\displaystyle f}$ конформно отображает ${\displaystyle D_{1}}$ на ${\displaystyle D_{2}}$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.