Призматический однородный многогранник

Призматический однородный многогранник — однородный многогранник с диэдральной симметрией^[англ.]. Они образуют два бесконечных семейства, однородные призмы и однородные антипризмы. Все они имеют вершины на двух параллельных плоскостях, а потому все они являются призматоидами.

Пентаграммная антипризма^[англ.] состоит из двух правильных пентаграмм и 10 равнобедренных треугольников.

Вершинная конфигурация и группы симметрии

Поскольку они являются изогональными (вершинно-транзитивными), их расположение вершин^[англ.] однозначно соответствует группам симметрии.

Разница между призматическими и антипризматическими группами симметрии заключается в том, что D_ph имеет рёбра, связывающие вершины на двух плоскостях, перпендикулярные этим плоскостям, что задаёт плоскость симметрии, параллельную многоугольникам, в то время как D_pd имеет скрещивающиеся рёбра, что даёт вращательную симметрию. Каждое тело имеет p плоскостей отражений, которые содержат p-кратные оси многоугольников.

Группа симметрии D_ph содержит центральную симметриию тогда и только тогда, когда p чётно, в то время как D_pd содержит центральную симметрию тогда и только тогда, когда p нечётно.

Список

Существуют:

• Призмы для каждого рационального p/q > 2 с группой симметрии D_ph;
• Антипризмы для каждого рационального p/q > 3/2 с группой симметрии D_pd, если q нечётно и D_ph если чётно.

Если p/q является целым числом, т.е. q = 1, призма или антипризма выпукла. (Дробь всегда считается несократимой.)

Антипризма с p/q < 2 является самопересекающейся или вырожденной, её вершинная фигура походит на галстук-бабочку. С p/q ≤ 3/2 однородных антипризм не существует, поскольку их вершинная фигура нарушила бы неравенство треугольника.

Рисунки

Замечание: Тетраэдр, куб и октаэдр перечислены ниже как имеющие диэдральную симметрию (как диагональная антипризма, квадратная призма и треугольная антипризма соответственно), хотя, при однородной раскраске, тетраэдр также имеет тетраэдральную симметрию, а куб и октаэдр имеют октаэдральную симметрию.

Группа симметрии	Выпуклый	Звёздчатые формы
d2d [2+,2] (2*2)	3.3.3
d3h [2,3] (*223)	3.4.4
d3d [2+,3] (2*3)	3.3.3.3
d4h [2,4] (*224)	4.4.4
d4d [2+,4] (2*4)	3.3.3.4
d5h [2,5] (*225)	4.4.5	4.4.5/2	3.3.3.5/2[англ.]
d5d [2+,5] (2*5)	3.3.3.5	3.3.3.5/3[англ.]
d6h [2,6] (*226)	4.4.6
d6d [2+,6] (2*6)	3.3.3.6
d7h [2,7] (*227)	4.4.7[англ.]	4.4.7/2[англ.]	4.4.7/3[англ.]	3.3.3.7/2[англ.]	3.3.3.7/4[англ.]
d7d [2+,7] (2*7)	3.3.3.7[англ.]	3.3.3.7/3[англ.]
d8h [2,8] (*228)	4.4.8	4.4.8/3[англ.]
d8d [2+,8] (2*8)	3.3.3.8[англ.]	3.3.3.8/3[англ.]	3.3.3.8/5[англ.]
d9h [2,9] (*229)	4.4.9[англ.]	4.4.9/2[англ.]	4.4.9/4[англ.]	3.3.3.9/2[англ.]	3.3.3.9/4[англ.]
d9d [2+,9] (2*9)	3.3.3.9[англ.]	3.3.3.9/5[англ.]
d10h [2,10] (*2.2.10)	4.4.10	4.4.10/3[англ.]
d10d [2+,10] (2*10)	3.3.3.10[англ.]	3.3.3.10/3[англ.]
d11h [2,11] (*2.2.11)	4.4.11[англ.]	4.4.11/2	4.4.11/3	4.4.11/4	4.4.11/5	3.3.3.11/2	3.3.3.11/4	3.3.3.11/6
d11d [2+,11] (2*11)	3.3.3.11[англ.]	3.3.3.11/3	3.3.3.11/5	3.3.3.11/7
d12h [2,12] (*2.2.12)	4.4.12[англ.]	4.4.12/5[англ.]
d12d [2+,12] (2*12)	3.3.3.12[англ.]	3.3.3.12/5[англ.]	3.3.3.12/7[англ.] 3.3.3.12/7
...

См. также

• Однородный многогранник
• Призма (геометрия)
• Антипризма

Примечания

Литература

• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — JSTOR 91532.

• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 175. — ISBN 0-521-55432-2.
• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вып. 3. — С. 447–457. — doi:10.1017/S0305004100052440..

Ссылки

• Prisms and Antiprisms George W. Hart