Полуинтервал

Полуинтервал — один из видов промежутков в математике, множество всех вещественных чисел, заключённых между двумя вещественными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и удовлетворяющее неравенству ${\displaystyle a\leqslant x<b}$ или неравенству ${\displaystyle a<x\leqslant b}$ (${\displaystyle x}$ — любой из элементов указанного множества)^[1].

Иными словами, в полуинтервал ${\displaystyle [a;b)}$ входят все вещественные числа, бо́льшие ${\displaystyle a}$ и меньшие ${\displaystyle b}$, и само число ${\displaystyle a}$, но ${\displaystyle b}$ не входит. Точно так же, в полуинтервал ${\displaystyle (a;b]}$ входят все вещественные числа, бо́льшие ${\displaystyle a}$ и меньшие ${\displaystyle b}$, и само число ${\displaystyle b}$, но не ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle a\leqslant x<b}$, ${\displaystyle x\in [a;b)}$ — полуинтервал, открытый справа и замкнутый слева^[2]

${\displaystyle a<x\leqslant b}$, ${\displaystyle x\in (a;b]}$ — полуинтервал, открытый слева и замкнутый справа^[2]

В отличие от интервала, не включающего граничных чисел, и отрезка, включающего оба граничных числа, в полуинтервал входит только одно из граничных чисел.

Терминология

С точки зрения теории множеств, термины «полуинтервал» и «полусегмент» равнозначны^[3]. Полуинтервал ${\displaystyle [a;b)}$ также называют «открытым справа и замкнутым слева»; соответственно, полуинтервал ${\displaystyle (a;b]}$ считается «открытым слева и замкнутым справа». Предлагавшиеся ранее обозначения для подобных множеств «оттервал» и «интрезок» не получили сколько-нибудь заметного распространения.^[2]

Примечания

1. Александров П. С. Энциклопедия элементарной математики. — М., Л., 1951. — Т. 1. — С. 82.
2. Шилов Г. Е. Части 1 и 2 // Математический анализ (функции одного переменного).. — М., 1969. — С. 29. — 528 с.
3. Хаусдорф Ф. Теория множеств.. — М., 2014. — С. 7.

Ссылки

• Полуинтервал в Кратком энциклопедическом справочнике