Поверхность Понтрягина

Пове́рхности Понтря́гина — определённая последовательность двумерных (в смысле размерности Лебега) «размерно неполноценных» континуумов ${\displaystyle \Pi _{m}}$. То есть таких, что их гомологическая размерность по данному модулю ${\displaystyle m=2,3,..}$ равна ${\displaystyle 1}$.

Свойства

• Поверхности Понтрягина вкладываются в четырёхмерное евклидово пространство
• ${\displaystyle \operatorname {dim} \,\Pi _{m}\times \Pi _{k}=3<\operatorname {dim} \,\Pi _{m}+\operatorname {dim} \,\Pi _{k}=4}$ при ${\displaystyle m\not =k}$

История

Понтрягин построил такие поверхности ${\displaystyle \Pi _{2}}$, ${\displaystyle \Pi _{3}}$, что их топологическое произведение ${\displaystyle \Pi =\Pi _{2}\times \Pi _{3}}$ есть континуум размерности ${\displaystyle 3}$. Этим была опровергнута гипотеза, что при топологическом перемножении двух (метрических) компактов их размерности складываются. Им же эта гипотеза доказана для гомологической размерности по простому модулю и вообще по всякой группе коэффициентов, являющейся полем. Позже Болтянским был построен двумерный континуум ${\displaystyle B}$ (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого ${\displaystyle B^{2}=B\times B}$ трёхмерен.

Вариации и обобщения

• поверхность Болтянского — двумерный континуум ${\displaystyle B}$ топологический квадрат которого ${\displaystyle B^{2}=B\times B}$ трёхмерен.

Литература

• П. С. Александров Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.
• В. Болтянский. О теореме сложения размерностей (рус.) // УМН. — 1951. — Т. 6, № 3(43). — С. 99—128.
• L. Роntгjagin. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension // Gomptes Rendus. — 1930. — Т. 190. — С. 1105—1107.