Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Параметрическая форма

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ интегрируемы по областям ${\displaystyle \Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}}$. Тогда:

1. Линейность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma }$ для любых вещественных чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$.
2. Аддитивность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma }$ при условии, что ${\displaystyle \Phi _{1}}$ и ${\displaystyle \Phi _{2}}$ не имеют общих внутренних точек.
3. Монотонность:
   • если ${\displaystyle f\geqslant g}$, то ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma }$;
   • для ${\displaystyle f\geqslant 0}$, если ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2}}$, то ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma }$.
4. Теорема о среднем для непрерывной функции ${\displaystyle f}$ и замкнутой ограниченной поверхности ${\displaystyle \Phi }$:

   ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )}$, где ${\displaystyle \xi \in \Phi }$, а ${\displaystyle \mu (\Phi )}$ — площадь области ${\displaystyle \Phi }$.

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность ${\displaystyle \Phi }$, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением ${\displaystyle z=z(x,y)}$ причём точка ${\displaystyle (x,y)}$ изменяется в области ${\displaystyle (D)}$ на плоскости ${\displaystyle xy}$, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности ${\displaystyle \Phi }$ определена некоторая функция ${\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}$. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части ${\displaystyle \Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)}$ и выбрав на каждой такой части точку ${\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}$, вычислим значение функции ${\displaystyle f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})}$ в данной точке и умножим его на площадь ${\displaystyle D_{i}}$ проекции на плоскость ${\displaystyle xy}$ элемента ${\displaystyle \Phi _{i}}$, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i})D_{i}.}$

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

${\displaystyle f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,}$

распространённым на выбранную сторону поверхности ${\displaystyle \Phi }$, и обозначают символом

${\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy}$

(здесь ${\displaystyle dx\,dy}$ напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость ${\displaystyle xy}$).

Если вместо плоскости ${\displaystyle xy}$ спроектировать элементы поверхности на плоскость ${\displaystyle yz}$ или ${\displaystyle zx}$, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz}$ или ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.}$

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,}$

где ${\displaystyle P,Q,R}$ суть функции от ${\displaystyle (x,y,z)}$, определённые в точках поверхности ${\displaystyle \Phi }$.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

${\displaystyle \iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — единичный вектор нормали поверхности ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle i}$ — орт.

Свойства

1. Линейность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \limits _{\Phi }g\,dx\,dy}$.
2. Аддитивность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy}$.
3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

• Криволинейный интеграл
• Поток векторного поля
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Теорема Стокса

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Мир математических уравнений Архивная копия от 21 ноября 2019 на Wayback Machine.