Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках

Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках — упругие волны распространяющиеся около поверхности пьезоэлектрика (релеевские волны) или в тонких пьезоэлектрических плёнках (лэмбовские волны наблюдаются, когда толщина подложки сравнима с длиной волны), сопровождающиеся модуляцией электрического поля для пьезоэлектрически активных направлений. Движение частиц среды при обоих типах волн эллиптическое. Амплитуда релеевских волн спадает при удалении от поверхности и её можно рассматривать как затухающую волну. Метод генерации ПАВ в пьезоэлектриках с помощью встречно-гребёнчатого преобразователя предложен в 1965 году^[1], что позволило найти широкое применение в обработке высокочастотных сигналов, линиях задержки, сенсорах и, в последнее время, для манипулирования частицами в микроканалах.

Генерация ПАВ с помощью встречно-гребенчатого преобразователя. Справа — приёмные дорожки снимают сигнал, при этом происходит обратное преобразование механической энергии в переменный электрический ток, через нагрузочный резистор.

Теоретические основания

В линейной среде акустические волны полностью характеризуются уравнениями для смещений частиц U_i и потенциалом φ^[2]:

${\displaystyle T_{ij}=C_{ijkl}S_{kl}-e_{kij}E_{k},}$

(1.1)

${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}+e_{ijk}S_{jk},}$

(1.2)

${\displaystyle S_{kl}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial U_{l}}{\partial x_{k}}}\right),}$

(1.3)

${\displaystyle E_{i}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},}$

(1.4)

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}U_{i}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial T_{ik}}{\partial x_{k}}},}$

(1.5)

где T_ij, S_ij — тензоры напряжений и деформаций; E, D — векторы напряженности и индукции электрического поля; C_ijkl, e_ijk, ε_ij — тензоры модулей упругости (этот тензор симметричен по последней паре индексов^[3]), пьезомодулей и диэлектрической проницаемости соответственно; ρ — плотность среды. По повторяющимся индексам производится суммирование. Тензор модулей упругости задан при постоянном электрическом поле, а тензор диэлектрической проницаемости при постоянной деформации. Если пьезоэлектрик не содержит свободных зарядов, то его можно считать диэлектриком и для него выполняется закон Гаусса для индукции электрического поля:

${\displaystyle {\frac {\partial D_{i}}{\partial x_{i}}}=0.}$

(2)

Собственные полупроводники при достаточно низкой температуре удовлетворяют этому условию. Из вышеприведённой системы уравнений можно получить уравнения для акустических волн в пьезоэлектрике

${\displaystyle C_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}U_{k}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}+e_{kij}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{j}\partial x_{k}}}=\rho {\frac {\partial ^{2}U_{i}}{\partial t^{2}}},}$

(3.1)

${\displaystyle e_{ijk}{\frac {\partial ^{2}U_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}-\varepsilon _{ij}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=0.}$

(3.2)

Данные уравнения с граничными условиями полностью определяют задачу. При отсутствии пьезоэффекта решения уравнения (3.1) представляют собой упругие волны в анизотропной линейной среде.

Парциальные волны

Ищем решение уравнений (3.1) и (3.2) в виде плоских волн распространяющихся в направлении x₁ и затухающие в направлении x₃:

${\displaystyle u_{j}^{m}=\alpha _{j}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],}$

(4.1)

${\displaystyle \phi ^{m}=\alpha _{4}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],}$

(4.2)

Подставляя эти решения в волновые уравнения получим систему уравнений на амплитуды

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}-\rho v^{2}&\Gamma _{12}&\Gamma _{13}&\Gamma _{14}\\\Gamma _{12}&\Gamma _{22}-\rho v^{2}&\Gamma _{23}&\Gamma _{24}\\\Gamma _{13}&\Gamma _{23}&\Gamma _{33}-\rho v^{2}&\Gamma _{31}\\\Gamma _{14}&\Gamma _{24}&\Gamma _{34}&\Gamma _{44}-\rho v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\alpha _{3}\\\alpha _{4}\\\end{pmatrix}}=0}$

(5.1)

где элементы выражаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{11}&=c_{55}b^{2}+2c_{15}b+c_{11},\\\Gamma _{22}&=c_{44}b^{2}+2c_{46}b+c_{66},\\\Gamma _{33}&=c_{33}b^{2}+2c_{35}b+c_{55},\\\Gamma _{12}&=c_{55}b^{2}+(c_{14}+c_{56})b+c_{16},\\\Gamma _{13}&=c_{35}b^{2}+(c_{13}+c_{55})b+c_{15},\\\Gamma _{23}&=c_{34}b^{2}+(c_{36}+c_{45})b+c_{56},\\\Gamma _{44}&=-(\varepsilon _{33}b^{2}+2\varepsilon _{13}b+\varepsilon _{11}),\\\Gamma _{14}&=e_{35}b^{2}+(e_{15}+e_{31})b+e_{11},\\\Gamma _{24}&=e_{34}b^{2}+(e_{14}+e_{36})b+e_{16},\\\Gamma _{34}&=e_{33}b^{2}+(e_{13}+e_{35})b+e_{15},\\\end{aligned}}}$

(5.2)

Чтобы нетривиальное решение уравнений существовало, нужно чтобы детерминант системы (5.1) был равен нулю. Это условие задаёт уравнение 8-й степени относительно b. Выбирая только решения в нижней комплексной мы найдём полное решение волновых уравнений:

${\displaystyle u_{j}=\left[\sum _{m}C_{m}\alpha _{j}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\right]\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],}$

(6.1)

${\displaystyle \phi =\left[\sum _{m}C_{m}\alpha _{4}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\right]\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],}$

(6.2)

где неизвестные коэффициенты C_m находятся из граничных условий заданных на поверхности пьезоэлектрика: условия ненагруженной поверхности T₃₃=T₃₁=T₃₂=0 и непрерывности нормальной компоненты вектора электрической индукции D₃. Для граничных условий (показан m-ый столбец) получим систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cdot \cdot \cdot (c_{33i1}+c_{33i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{133}+e_{333}b^{m})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (c_{31i1}+c_{31i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{131}+e_{331}b^{m})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (c_{32i1}+c_{32i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{132}+e_{332}b^{m})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (e_{3i1}+e_{3i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}-(\varepsilon _{31}+\varepsilon _{33}b^{m}-i\varepsilon _{0})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\C_{4}\\\end{pmatrix}}=0.}$

(7)

Из равенства детерминанта системы нулю находят фазовую скорость волны^[4].

Симметрия кристаллов

Используя нотацию Фойгта тензор модулей упругости можно переписать в виде симметричной матрицы 6×6, которая имеет в общем случае 21 линейно независимую компоненту^[5]. Для кристаллов кубической симметрии (кремний, арсенид галлия), где координатная система совпадает с осями кристаллической решётки есть только три независимые компоненты^[6]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{12}&c_{11}&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&c_{44}\\\end{pmatrix}}}$

Для кристаллов гексогональной симметрии (сульфид кадмия, окись цинка), где ось x₃ совпадает с осью Z кристалла существует пять независимых компонент^[6]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\c_{13}&c_{13}&c_{33}&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&1/2(c_{11}-c_{12})\\\end{pmatrix}}}$

Для кристаллов тригональной симметрии (классы 32, 3m, ${\displaystyle {\overline {3}}m}$), выделяют шесть независимых компонент^[6]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{13}&c_{14}&0&0\\c_{13}&c_{13}&c_{33}&0&0&0\\c_{14}&c_{14}&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&c_{14}\\0&0&0&0&c_{14}&1/2(c_{11}-c_{12})\\\end{pmatrix}}}$

К этому классу относятся важные пьезоэлектрики такие как кварц, ниобат лития.

Тензор пьезоэлектрических постоянных в нотации Фойгта (последняя пара индексов заменяется) для кубической сингонии (классы 23 и ${\displaystyle 4{\overline {3}}m}$) имеют одну независимую компоненту^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&e_{14}&0&0\\0&0&0&0&e_{14}&0\\0&0&0&0&0&e_{14}\\\end{pmatrix}}}$

Для кристаллов с гексогональной симметрией (точечная группа 6mm, поляризованная керамика по оси x₃) — три компоненты:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&0\\0&0&0&e_{15}&0&0\\e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

Для точечной группы 32 (тригональная сингония) две компоненты:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{11}&-e_{11}&0&e_{14}&0&0\\0&0&0&0&-e_{14}&-e_{11}\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

а для точечной группы 3m — четыре^[7]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&-e_{22}\\-e_{22}&e_{22}&0&e_{15}&0&0\\e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

Тензор диэлектрических постоянных также зависит от направления в кристалле для групп 3m, 32, 6mm, ${\displaystyle {\overline {3}}m}$ и ε₃₃≠ε₁₁=ε₂₂. Для классов 23, ${\displaystyle 4{\overline {3}}m}$, m3m: ε₃₃=ε₁₁=ε₂₂.

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ

Рассмотрим простейший одномерный случай и, отбрасывая индексы, перепишем систему уравнений (1) в виде^[8]:

${\displaystyle T=cS-eE,}$

(8.1)

${\displaystyle D=eS+\varepsilon E,}$

(8.2)

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}},}$

(8.3)

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x}}=\rho {\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}.}$

(8.4)

Эта систему уравнений приводит к волновому уравнению для сдвига

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=c\left(1+{\frac {e^{2}}{c\varepsilon }}\right){\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}-{\frac {e}{\varepsilon }}{\frac {\partial D}{\partial x}}.}$

(9)

В случае если пьезоэлектрик окажется хорошим проводником, то продольные звуковые волны (скорость ${\displaystyle v_{0}={\sqrt {c/\rho }}}$) не будут пьезоэлектрическими, а если — диэлектриком, то скорость волны станет ${\displaystyle v={\sqrt {(1+e^{2}/c\varepsilon )c/\rho }}}$. Коэффициент ${\displaystyle K^{2}=e^{2}/c\varepsilon }$ называется коэффициент электромеханической связи и принимает значения меньше 0,05 (для поверхности (100) GaAs в направлении [011] K²_eff=6.4×10⁻⁴). Если в GaAs сформирован ДЭГ с проводимостью σ, то электрическое поле акустической волны приводит к потерям энергии из-за омических потерь. Коэффициент затухания Γ и изменение скорости пьезоакустической волны с частотой ω равны соответственно:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {K_{eff}^{2}}{2}}{\frac {\sigma /\sigma _{M}}{1+(\sigma /\sigma _{M})^{2}}},}$

(10.1)

${\displaystyle {\frac {v-v_{0}}{v_{0}}}={\frac {K_{eff}^{2}}{2}}{\frac {1}{1+(\sigma /\sigma _{M})^{2}}},}$

(10.2)

где λ — длина волны, σ_M=v₀(1+ε). Здесь расстояние до ДЭГ от поверхности много меньше длины волны. В более общем случае изменение скорости и затухание связаны соотношением^[9]:

${\displaystyle {\frac {\Delta v_{s}}{v_{s}}}-{\frac {i\Gamma }{q}}={\frac {\alpha ^{2}/2}{1+i\sigma _{xx}(q,v_{s}q)/\sigma _{M}}},}$

(11)

где v_s — скорость акустической волны для идеального проводника, q — волновой вектор, а коэффициенты α и σ_M зависят от материальных параметров. Отсюда видно, что взаимодействие ПАВ с ДЭГ зависит от продольной компоненты терзора проводимости, определяя бесконтактный метод его измерения.

Из-за наличия затухания часть импульса волны передаётся ДЭГ, приводя к возникновению акустоэлектрического тока (если цепь замкнута). Связь затухания и фазового сдвига с проводимостью благодаря взаимодействию ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ изучалась в присутствии перпердикулярного магнитного поля в режиме целочисленного квантового эффекта Холла^[8] и дробного квантового эффекта Холла^[10]

Усиление ПАВ в полупроводниках с пьезоэлектрическими свойствами

Система уравнений для одномерного случая (8) в полупроводниках n-типа с пьезоэлектрическими свойствами следует дополнить уравнениями для полного тока (включает дрейфовую и диффузионную части)^[11]

${\displaystyle J=q\mu n_{c}E+qD_{n}{\frac {\partial n_{c}}{\partial x}},}$

(12)

уравнением непрерывности

${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial x}}=-q{\frac {\partial n_{c}}{\partial t}}}$

(13)

и теоремой Гаусса

${\displaystyle {\frac {\partial D}{\partial x}}=-qn_{c}.}$

(14)

Здесь μ — подвижность, q — элементарный заряд, D_n — коэффициент диффузии, концентрация электронов n_c состоит из постоянной части n₀ и меняющейся во времени вклада n_s из-за действия электрического поля акустической волны. Помимо переменного электрического поля E₁e^jkx-jωt действует постоянное поле E₀.

Коэффициент затухания в этом случае равен

${\displaystyle \Gamma ={\frac {K^{2}}{2}}{\frac {\omega _{c}}{v_{0}\gamma }}\left[1+{\frac {\omega _{c}^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}}}\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{c}\omega _{D}}}\right)^{2}\right]^{-1}}$

(15)

где ${\displaystyle \omega _{c}=\sigma /\varepsilon }$, ${\displaystyle \omega _{D}=v_{0}^{2}/D}$, ${\displaystyle \gamma =1-\mu E_{0}/v_{0}=1-v_{d}/v_{0}}$. Если дрейфовая скорость v_d электронов больше скорости волны то γ меняет знак и, соответственно, вместо затухания происходит усиление поверхностной акустической волны.

Адиабатический транспорт в одномерных каналах

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ можно распространить на одномерные каналы, а именно сформированные с помощью латеральных затворов на поверхности GaAs. Бегущая ПАВ благодаря электрическому полю может создавать движущуюся потенциальную яму для отдельного электрона (которую можно представить как квантовую точку) в перекрытом одномерном канале, то есть индуцировать проводимость. Благодаря кулоновской блокаде за один период переносится один электрон, и результирующий ток определяется только частотой сигнала f и зарядом электрона^[12][13]:

${\displaystyle I=fe.}$

Такая простая формула открывает возможность использовать транспорт в квази-одномерных каналах в качестве эталона силы тока.

Применение

Датчики на поверхностных акустических волнах, линии задержки.

Примечания

1. White R. M., Voltmer F. W. Direct piezoelectric coupling to surface elastic waves // Appl. Phys. Lett.. — 1965. — Т. 7. — С. 314—316. — doi:10.1063/1.1754276. (недоступная ссылка)
2. Осетров А. В., Шо Н. В. Расчет параметров поверхностных акустических волн в пьезоэлектриках методом конечных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2011. — Т. 4. — С. 71—80. Архивировано 4 марта 2016 года.
3. Ландау, 1987, с. 131.
4. Фильтры, 1981, с. 18—21.
5. Фильтры, 1981, с. 11.
6. Фильтры, 1981, с. 12.
7. Фильтры, 1981, с. 14.
8. Wixforth A., Scriba J., Wassermeier M., Kotthaus J. P., Weimann G., Schlapp W. Surface acoustic waves on GaAs/Al_xGa_1-xAs heterostructures // Phys. Rev. B. — 1989. — Т. 40. — С. 7874—7887. — doi:10.1103/PhysRevB.40.7874.
9. Simon S. H. Coupling of surface acoustic waves to a two-dimensional electron gas // Phys. Rev. B. — 1996. — Т. 54. — С. 13878—13884. — doi:10.1103/PhysRevB.54.13878.
10. Willett R. L., Paalanen M. A., Ruel R. R., West K. W., Pfeiffer L. N., Bishop D. J. Anomalous sound propagation at ν=1/2 in a 2D electron gas: Observation of a spontaneously broken translational symmetry? // Phys. Rev. Lett.. — 1990. — Т. 65. — С. 112—115. — doi:10.1103/PhysRevLett.65.112.
11. White D. L. Amplification of Ultrasonic Waves in Piezoelectric Semiconductors // J. Appl. Phys.. — 1962. — Т. 33. — С. 2547—2554. — doi:10.1063/1.1729015. (недоступная ссылка)
12. Shilton J. M., Talyanskii V. I., Pepper M., Ritchie D. A., Frost J. E. F., Ford C. J. B., Smith C. G., Jones G. A. C. High-frequency single-electron transport in a quasi-one-dimensional GaAs channel induced by surface acoustic waves // J. Phys.: Condens. Matter. — 1996. — Т. 8. — С. 531. — doi:10.1088/0953-8984/8/38/001.
13. Thouless D. J. Quantization of particle transport // Phys. Rev. B. — 1983. — Т. 27. — С. 6083—6087. — doi:10.1103/PhysRevB.27.6083.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1987. — Т. VII. Теория упругости. — 248 с.
• Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — 472 с. — 5000 экз.
• Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах = Surface-Wave Devices for Signal Processing / Под ред. С. И. Баскакова. — М.: Радио и связь, 1990. — 414 с. — ISBN 5256006614.