Планковские единицы

Пла́нковские едини́цы — система единиц измерения, одна из естественных систем единиц. Предложена в 1901 году немецким физиком Максом Планком и названа в его честь^[1].

Система планковских единиц не имеет широкого распространения, потому что величины большинства входящих в неё единиц неудобны для практического использования (очень велики или очень малы). Однако, как и другие естественные системы единиц, она с большим успехом применяется в теоретической физике, поскольку в ней уравнения существенно упрощаются, их запись освобождается от излишних коэффициентов^[2].

Основные единицы

Ныне под планковской системой понимается система единиц, в которой в качестве основных единиц выбраны следующие фундаментальные физические постоянные^[3]:

• ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на ${\displaystyle 2\pi }$);
• ${\displaystyle c}$ — скорость света (электродинамическая постоянная);
• ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная;
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ — постоянная Больцмана.

При этом значение коэффициента пропорциональности в законе Кулона выбрано равным единице^[4].

Обычно, говоря о планковской системе, указывают, что в этом случае выполняется ${\displaystyle c=1,}$ ${\displaystyle \hbar =1,}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}=1}$ и ${\displaystyle G=1.}$ Однако в действительности такая форма записи не точна. Она отражает лишь то, что соответствующая постоянная выбрана в качестве меры. Следует иметь в виду, что в планковской системе размерности отнюдь не исчезают, скорее наоборот, они приобретают фундаментальный характер, поскольку составляются из фундаментальных постоянных^[4].

Производные единицы

Из основных планковских единиц выводятся все остальные (производные) единицы системы, часть из которых приведена ниже. Значения ${\displaystyle c,\,G,\,\hbar ,\,\varepsilon _{0}}$ и ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ в единицах Международной системы единиц (СИ), использованные в расчётах, рекомендованы CODATA^[5].

• Планковская масса ${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}\approx 2{,}176434(24)\times 10^{-8}}$ кг.
• Планковская длина ${\displaystyle l_{\text{P}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\approx 1{,}616255(18)\times 10^{-35}}$ м.
• Планковское время ${\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\approx 5{,}391247(60)\times 10^{-44}}$ с.
• Планковское ускорение ${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}\approx 5{,}56073(62)\times 10^{51}}$ м/с².
• Планковская энергия ${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}\approx 1{,}956080(22)\times 10^{9}}$ Дж.
• Планковская температура ${\displaystyle T_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{k_{\text{B}}^{2}G}}}\approx 1{,}416784(16)\times 10^{32}}$ К.
• Планковский заряд ${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}={\sqrt {2ch\varepsilon _{0}}}={\frac {e}{\sqrt {\alpha }}}\approx 1{,}87554603778(14)\times 10^{-18}}$ Кл, где ${\displaystyle e}$ — элементарный электрический заряд, ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Соответственно, постоянная тонкой структуры — это квадрат заряда электрона, выраженного в планковских зарядах.
• Планковский ток ${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}=2c^{3}{\sqrt {\frac {\pi \varepsilon _{0}}{G}}}\approx 3{,}478872(39)\times 10^{25}}$ А.
• Планковская сила ${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}=1{,}21027\times 10^{44}}$ Н.
• Планковское давление ${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\approx 4,63309\times 10^{113}}$ Па,

• Планковская угловая частота ${\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\approx 1{,}85487\times 10^{43}}$ c⁻¹.
• Планковская мощность (или планковская светимость) ${\displaystyle L_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{5}}{G}}\approx 3{,}62831\times 10^{52}}$ Вт.
• Планковская площадь (или планковское сечение рассеяния) ${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}\approx 2{,}61228(4)\times 10^{-70}}$ м².
• Планковский импульс ${\displaystyle p_{\text{P}}=m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}\approx 6{,}52478(7)}$ кг·м/с.
• Планковская плотность ${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\approx 5{,}1550\times 10^{96}}$ кг/м³.

Погрешность (в скобках после величины) выражается в единицах последней значащей цифры. Для большинства планковских единиц основной вклад в погрешность вносит относительная погрешность измерения гравитационной постоянной G (δG ≈ 2,2 × 10⁻⁵)^[6], что значительно больше, чем относительная погрешность электрической постоянной ε₀ (δε₀ ≈ 1,5 × 10⁻¹⁰)^[7], в то время как относительные погрешности постоянной Планка h, постоянной Больцмана k_B, элементарного заряда e и скорости света c равны нулю — эти величины выражаются через единицы СИ как точные значения (поскольку соответствующие единицы в существующей в настоящее время редакции СИ определены через них). Таким образом, если в формулу для планковской единицы входит G^±s, её относительная погрешность примерно равна s·δG (например, для единиц, в определение которых входит G^1/2 или G^−1/2, относительная погрешность примерно равна δG/2 ≈ 10⁻⁵). Одной из немногих планковских единиц, не включающих в своё определение G, является планковский заряд, поэтому его точность определяется погрешностью δε₀.

История

Система планковских единиц впервые предложена в 1899 году Максом Планком на основе скорости света ${\displaystyle c}$, гравитационной постоянной ${\displaystyle G}$ и двух ввёденных им новых постоянных теории теплового излучения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (они отличаются от современных постоянных ${\displaystyle {\frac {h}{k_{B}}}}$ и ${\displaystyle h}$ на безразмерные множители)^[8]. Первоначально планковские единицы были введены в докладе, сделанном 18 мая 1899 года на заседании Академии наук в Берлине и посвящённом обзору теории явлений теплового излучения, рассматриваемых с точки зрения электромагнитной теории света, и значению второго начала термодинамики в ней.

Все до сих пор используемые системы единиц, в том числе так называемая абсолютная СГС-система, обязаны своим происхождением пока что случайному стечению обстоятельств, поскольку выбор единиц, лежащих в основе каждой системы, сделан не исходя из общей точки зрения, обязательно приемлемой для всех мест и времен, но исключительно исходя из потребностей нашей земной культуры… В связи с этим представляло бы интерес заметить, что, используя обе постоянные ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$… мы получаем возможность установить единицы длины, массы, времени и температуры, которые не зависели бы от выбора каких-либо тел или веществ и обязательно сохраняли бы своё значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих, и которые поэтому можно было бы ввести в качестве «естественных единиц измерений».

— ^[9]

В 1900 году Макс Планк предложил новый закон излучения (закон Планка), в котором фигурировали две новые постоянные ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k_{B}.}$ В 1901 году Планком была предложена система на основе постоянных ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k_{B}}$^[1].

См. также

• Планковская эпоха
• Рациональная система единиц
• Атомные единицы
• СГС
• Международная система единиц (СИ)
• Фундаментальные физические постоянные

Примечания

1. Шёпф, 1981, с. 182—184.
2. Сена, 1968, с. 250.
3. Чертов, 1977, с. 23.
4. Томилин, 2006, с. 210—211.
5. Fundamental Physical Constants — Complete Listing.
6. 2018 CODATA Value: Newtonian constant of gravitation Архивная копия от 23 сентября 2020 на Wayback Machine. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. NIST.
7. 2018 CODATA Value: vacuum electric permittivity Архивная копия от 3 июня 2016 на Wayback Machine. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. NIST.
8. Томилин, 2006, с. 126.
9. Планк, 1975, с. 232.

Литература

• Планк М. Избранные труды. — Москва: Наука, 1975.
• Томилин К. А. Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах. — Москва: Физматлит, 2006. — С. 209, 215—218, 222, 223, 271, 311. — 368 с. — ISBN 5-9221-0728-3.
• Чертов А. Г. Единицы физических величин. — Москва: «Высшая школа», 1977. — С. 23. — 287 с.
• Шёпф Х.-Г. Макс Планк Об элементарных квантах материи и электричества // От Кирхгофа до Планка. — Москва: Мир, 1981. — С. 182—184. — 16 700 экз.
• Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1968. — 306 с.
• Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1977. — 336 с.

Ссылки

• Томилин К. А. Планковские величины // 100 лет квантовой теории. История. Физика. Философия : Труды международной конференции. — Москва: НИА-Природа, 2002. — С. 105—113.
• Fundamental Physical Constants — Complete Listing. 2018 CODATA adjustment (англ.). nist.gov. CODATA, NIST (2018). Дата обращения: 9 мая 2022.