Планковские единицы

Пла́нковские едини́цы — система единиц измерения, одна из естественных систем единиц. Предложена в 1901 году немецким физиком Максом Планком и названа в его честь^[1].

Система планковских единиц не имеет широкого распространения, потому что величины большинства входящих в неё единиц неудобны для практического использования (очень велики или очень малы). Однако, как и другие естественные системы единиц, она с большим успехом применяется в теоретической физике, поскольку в ней уравнения существенно упрощаются, их запись освобождается от излишних коэффициентов^[2].

Основные единицы

Ныне под планковской системой понимается система единиц, в которой в качестве основных единиц выбраны следующие фундаментальные физические постоянные^[3]:

• ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на ${\displaystyle 2\pi }$);
• ${\displaystyle c}$ — скорость света (электродинамическая постоянная);
• ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная;
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ — постоянная Больцмана.

При этом значение коэффициента пропорциональности в законе Кулона выбрано равным единице^[4].

Обычно, говоря о планковской системе, указывают, что в этом случае выполняется ${\displaystyle c=1,}$ ${\displaystyle \hbar =1,}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}=1}$ и ${\displaystyle G=1.}$ Однако в действительности такая форма записи не точна. Она отражает лишь то, что соответствующая постоянная выбрана в качестве меры. Следует иметь в виду, что в планковской системе размерности отнюдь не исчезают, скорее наоборот, они приобретают фундаментальный характер, поскольку составляются из фундаментальных постоянных^[4].

Производные единицы

Из основных планковских единиц выводятся все остальные (производные) единицы системы, часть из которых приведена ниже. Значения ${\displaystyle c,\,G,\,\hbar ,\,\varepsilon _{0}}$ и ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ в единицах Международной системы единиц (СИ), использованные в расчётах, рекомендованы CODATA^[5].

Современные значения для планковских величин

Величина	Формула	Значение (в единицах СИ)
Планковская масса	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	${\displaystyle 2{,}176434(24)\times 10^{-8}}$ кг
Планковская длина	${\displaystyle l_{\text{P}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	${\displaystyle 1{,}616255(18)\times 10^{-35}}$ м
Планковское время	${\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle 5{,}391247(60)\times 10^{-44}}$ с
Планковское ускорение	${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}}$	${\displaystyle 5{,}56073(62)\times 10^{51}}$ м/с2
Планковская энергия	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	${\displaystyle 1{,}956080(22)\times 10^{9}}$ Дж
Планковская температура	${\displaystyle T_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{k_{\text{B}}^{2}G}}}}$	${\displaystyle 1{,}416784(16)\times 10^{32}}$ К
Планковский заряд	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}={\sqrt {2ch\varepsilon _{0}}}={\frac {e}{\sqrt {\alpha }}}}$, где ${\displaystyle e}$ — элементарный электрический заряд, ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Соответственно, постоянная тонкой структуры — это квадрат заряда электрона, выраженного в планковских зарядах.	${\displaystyle 1{,}87554603778(14)\times 10^{-18}}$ Кл
Планковский ток	${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}=2c^{3}{\sqrt {\frac {\pi \varepsilon _{0}}{G}}}}$	${\displaystyle 3{,}478872(39)\times 10^{25}}$ А
Планковская сила	${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	${\displaystyle 1{,}21027\times 10^{44}}$ Н
Планковское давление	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 4,63309\times 10^{113}}$ Па
Планковская угловая частота	${\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	${\displaystyle 1{,}85487\times 10^{43}}$ c−1
Планковская мощность (или планковская светимость)	${\displaystyle L_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	${\displaystyle 3{,}62831\times 10^{52}}$ Вт
Планковская площадь (или планковское сечение рассеяния)	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	${\displaystyle 2{,}61228(4)\times 10^{-70}}$ м2
Планковский импульс	${\displaystyle p_{\text{P}}=m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	${\displaystyle 6{,}52478(7)}$ кг·м/с
Планковская плотность	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 5{,}1550\times 10^{96}}$ кг/м³

Погрешность (в скобках после величины) выражается в единицах последней значащей цифры. Для большинства планковских единиц основной вклад в погрешность вносит относительная погрешность измерения гравитационной постоянной G (δG ≈ 2,2 × 10⁻⁵)^[6], что значительно больше, чем относительная погрешность электрической постоянной ε₀ (δε₀ ≈ 1,5 × 10⁻¹⁰)^[7], в то время как относительные погрешности постоянной Планка h, постоянной Больцмана k_B, элементарного заряда e и скорости света c равны нулю — эти величины выражаются через единицы СИ как точные значения (поскольку соответствующие единицы в существующей в настоящее время редакции СИ определены через них). Таким образом, если в формулу для планковской единицы входит G^±s, её относительная погрешность примерно равна s·δG (например, для единиц, в определение которых входит G^1/2 или G^−1/2, относительная погрешность примерно равна δG/2 ≈ 10⁻⁵). Одной из немногих планковских единиц, не включающих в своё определение G, является планковский заряд, поэтому его точность определяется погрешностью δε₀.

История

Макс Планк в 1933

Система планковских единиц впервые предложена в 1899 году Максом Планком на основе скорости света ${\displaystyle c}$, гравитационной постоянной ${\displaystyle G}$ и двух ввёденных им новых постоянных теории теплового излучения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (они отличаются от современных постоянных ${\displaystyle {\frac {h}{k_{B}}}}$ и ${\displaystyle h}$ на безразмерные множители)^[8]. Первоначально планковские единицы были введены в докладе, сделанном 18 мая 1899 года на заседании Академии наук в Берлине и посвящённом обзору теории явлений теплового излучения, рассматриваемых с точки зрения электромагнитной теории света, и значению второго начала термодинамики в ней.

Все до сих пор используемые системы единиц, в том числе так называемая абсолютная СГС-система, обязаны своим происхождением пока что случайному стечению обстоятельств, поскольку выбор единиц, лежащих в основе каждой системы, сделан не исходя из общей точки зрения, обязательно приемлемой для всех мест и времен, но исключительно исходя из потребностей нашей земной культуры… В связи с этим представляло бы интерес заметить, что, используя обе постоянные ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$… мы получаем возможность установить единицы длины, массы, времени и температуры, которые не зависели бы от выбора каких-либо тел или веществ и обязательно сохраняли бы своё значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих, и которые поэтому можно было бы ввести в качестве «естественных единиц измерений».

— ^[9]

В 1900 году Макс Планк предложил новый закон излучения (закон Планка), в котором фигурировали две новые постоянные ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k_{B}.}$ В 1901 году Планком была предложена система на основе постоянных ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k_{B}}$^[1].

Связь планковской длины с массой mА = αmP

Считается, что планковская длина связана только с планковской массой, однако, это не так:

${\displaystyle l_{\text{P}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c}}={\frac {\alpha \hbar c}{\alpha m_{\text{P}}c^{2}}}={\frac {ke^{2}}{m_{\text{A}}c^{2}}},}$

где ${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}},}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{137,036}},}$ а масса ${\displaystyle m_{\text{A}}=\alpha m_{\text{P}}=1{,}5882\times 10^{-10}}$ кг.

Величина ${\displaystyle ke^{2}/m_{\text{A}}c^{2}}$ — это классический радиус заряженной элементарной частицы с массой ${\displaystyle m_{\text{A}}}$. Таким образом, планковская длина связана сразу с двумя совершенно разными массами, ${\displaystyle m_{\text{P}}}$ и ${\displaystyle m_{\text{A}}}$^[10].

Классический радиус ${\displaystyle ke^{2}/mc^{2}}$ уменьшается с ростом массы частицы и достигает наименьшего значения — длины Стоуни ${\displaystyle l_{\text{S}}=l_{\text{P}}{\sqrt {\alpha }}=1{,}3807\times 10^{-36}}$м — для массы Стоуни ${\displaystyle m_{\text{S}}=m_{\text{P}}{\sqrt {\alpha }}=1{,}8592\times 10^{-9}}$кг.

См. также

• Планковская эпоха
• Рациональная система единиц
• Атомные единицы
• СГС
• Международная система единиц (СИ)
• Фундаментальные физические постоянные