Переходные процессы в электрических цепях

Перехо́дные проце́ссы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

RC-цепь интегрирующего типа

Напряжение на конденсаторе в интегрирующей RC-цепи при подаче ступенчатого возмущения (функция Хевисайда) пр нулевом начальном заряде на конденсаторе

Например, при подключении разряженного конденсатора ${\displaystyle C}$ к источнику напряжения ${\displaystyle U_{0}}$ через резистор ${\displaystyle R}$, напряжение на конденсаторе меняется от 0 до ${\displaystyle U_{0}}$ по закону^[1]:

${\displaystyle U_{c}(t)=U_{0}(1-e^{-t/\tau }),}$

где ${\displaystyle \tau =RC}$ — постоянная времени.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи. Иными словами, конденсатор не может запастись энергией мгновенно, а если бы мог, то для этого потребовался источник энергии бесконечной мощности.

Стандартные идеализированные воздействия при анализе отклика математической модели цепи — это ступенчатая функция Хевисайда и импульсная функция Дирака.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением:

• неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока;
• линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Время установления в новое стационарное состояние

Переходные процессы могут продолжаться от долей наносекунд до нескольких лет. Продолжительность зависит от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации

Ток, протекающий через индуктивный элемент ${\displaystyle L}$ непосредственно до коммутации ${\displaystyle i_{L}(0_{-}),}$ равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации ${\displaystyle i_{L}(0_{+}),}$ так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

${\displaystyle i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+}).}$

Второй закон коммутации

Напряжение на емкостном элементе ${\displaystyle C}$ непосредственно до коммутации ${\displaystyle u_{C}(0_{-})}$ равно напряжению во время коммутации, и напряжению на емкостном элементе непосредственно после коммутации ${\displaystyle u_{C}(0_{+}),}$ так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

${\displaystyle u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+}).}$

При этом ток в конденсаторе может изменяться скачкообразно.

Примечание

1. ${\displaystyle t=0_{-}}$ — время непосредственно до коммутации;
2. ${\displaystyle t=0}$ — непосредственно во время коммутации;
3. ${\displaystyle t=0_{+}}$ — время непосредственно после коммутации.

Начальные значения величин

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при ${\displaystyle t=0}$.

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации ${\displaystyle t=0_{+}}$ чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации ${\displaystyle t=0_{-}}$.

Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при ${\displaystyle t=0_{+}}$ в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

Методы расчёта переходных процессов

• Классический метод (решение дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики).
• Операторный метод (перенос расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени ${\displaystyle t}$) в область функций комплексного переменного, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические).
• Метод переменных состояния (составление и решение системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных. Число переменных состояний равно числу независимых накопителей энергии).

См. также

• Переходный процесс
• Интеграл Дюамеля
• Время релаксации

Литература

• Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6
• Бессонов Л. А. Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях // Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник. — 11-е изд., перераб. и доп.. — М.: "Гардарики", 2007. — С. 231, 235-236. — 701 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8297-0046-8, ББК 31.21, УДК 621.3.013(078.5).

Ссылки

• Переходные процессы в линейных электрических цепях. на http://www.ups-info.ru

Примечания

1. Пример расчёта простейших переходных процессов изложен в статье Операционное исчисление.