Октамино

Октамино — восьмиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, состоящие из восьми равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами октамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.

369 свободных октамино

Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных («свободных») форм октамино насчитывается 369 (см. рисунок)^[1]. Существует 704 видов «односторонних» октамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 2725 видов «фиксированных» октамино (различными считаются также и повороты)^[2].

Классификация фигур октамино по свойствам симметрии

369 свободных фигур октамино по их свойствам симметрии можно разделить на 8 категорий:

• 316 фигур октамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
• 23 октамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
• 5 октамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
• 18 октамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
• 1 октамино (изображено жёлтым) имеют центральную (вращательную) симметрию четвёртого порядка;
• 4 октамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки;
• 1 октамино (изображено оранжевым) имеет две диагональных оси симметрии.
• 1 октамино (изображено сине-зелёным) имеет четыре оси симметрии — две параллельных линиям сетки и две диагональных.

Октамино — наименьший порядок полимино, в котором реализуются все восемь возможных типов симметрии. Следующий порядок полимино с этим свойством — додекамино (двенадцатиклеточное полимино).

Если зеркальные отражения фигур считать различными, то первая, четвёртая и пятая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 335 октамино, то есть в общей сложности 704 односторонних октамино.

Если повороты также рассматривать как различные фигуры, то

• фигуры первой категории могут быть ориентированы восемью различными способами;
• фигуры из категорий со второй по четвёртую — четырьмя;
• фигуры из категорий с пятой по седьмую — двумя;
• единственная фигура из последней категории может быть ориентирована единственным образом.

Это даёт ${\displaystyle 316\times 8+(23+5+18)\times 4+(1+4+1)\times 2+1=2725}$ фиксированных октамино.

Составление фигур из октамино

Октамино с отверстиями

Укладка октамино в прямоугольник 51×58 с 6 отверстиями

Укладка октамино в три прямоугольника 29×34, каждый с двумя отверстиями

Среди 369 свободных октамино есть 6 фигур с отверстиями («неодносвязные»). Из этого следует, что сплошное покрытие какого-либо прямоугольника площадью ${\displaystyle 369\times 8=2952}$ квадратов полным набором октамино невозможно. Однако они могут быть уложены в некоторые прямоугольники площадью 2958 квадратов с шестью одноклеточными отверстиями. Поскольку число 2958 представляет собою произведение простых множителей 2×3×17×29, то можно поставить вопрос о составлении прямоугольников 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 и 51×58.

Для прямоугольника 51×58 существует решение с симметричным расположением отверстий, представленное на рисунке. Существует также укладка октамино в три прямоугольника 29×34, каждый с двумя отверстиями вблизи центра. Комбинируя их различными способами, можно получить прямоугольник 34×87 или 29×102 с симметричным расположением трёх пар отверстий. Решения для прямоугольников 6×493 и 17×174 пока не известны.

Пространственные октамино

Из 369 пространственных октамино, имеющих форму обычных «плоских» октамино, можно собрать параллелепипед 8 × 9 × 41. Одно из решений использует все фигуры, кроме прямого октамино, для сборки восьми отдельных слоёв 1 × 9 × 41; прямое октамино проходит сквозь центры всех восьми слоёв^[3].

Псевдооктамино

Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти король^[1]. Существует 18 770 свободных (двусторонних)^[4], 37 196 односторонних^[5] и 147 941 фиксированных^[6] псевдооктамино.

Примечания

1. Голомб, 1975.
2. Weisstein, Eric W. Octomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. Ed Pegg, Jr. material added 11 March 2001. Patrick Hamlyn packed the solid octominoes in an impressive way, with a three-coloring!  (неопр.) MathPuzzle.com. Дата обращения: 20 ноября 2015. Архивировано 26 января 2016 года.
4. Последовательность A030222 в OEIS
5. Последовательность A030233 в OEIS
6. Последовательность A006770 в OEIS

Литература

• Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.