Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Однородность по аргументу

Обыкновенное уравнение первого порядка ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ называется однородным относительно x и y, если функция ${\displaystyle f(x,y)}$ является однородной степени 0:

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)}$.

Однородную функцию можно представить как функцию от ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$:

${\displaystyle \ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)}$.

Используем подстановку ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=u}$, а затем воспользуемся правилом произведения: ${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u}$. Тогда дифференциальное уравнение ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

${\displaystyle u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{u-g(u)}}+{\frac {dx}{x}}=0}$.

Однородность по правой части

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение ${\displaystyle F(y,y',y'',\ldots )=G(x)}$ — однородно, если ${\displaystyle G(x)\equiv 0}$.

В случае, если ${\displaystyle G(x)\neq 0}$, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

См. также

• Однородная функция
• Однородное уравнение
• Уравнение, приводящее к однородному