Овал Декарта

Ова́л Дека́рта — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, представляющая собой геометрическое место точек, для которых сумма расстояний ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ до двух точек ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$, называемых фокусами, помноженных на константы ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, является постоянной, то есть:

${\displaystyle p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}=d.}$

Уравнение кривой

Эта кривая описывается уравнением

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2})+c,}$

где a, b и c — константы, связанные с параметрами p₁, p₂ и d.

При ${\displaystyle c=0}$ овал Декарта представляет собой улитку Паскаля.

Если ${\displaystyle p_{1}=p_{2},}$, то овал Декарта представляет собой эллипс, в случае ${\displaystyle p_{1}=-p_{2},}$ — гиперболу.

Эту кривую первым изучил и описал Рене Декарт в 1637 году. Эти овалы Декарт построил при решении задачи оптики: он искал кривую, которая преломляла бы лучи, выходящие из одной точки, так, чтобы преломленные лучи проходили бы через другую заданную точку.

Примеры овалов Декарта

• 
  a = 1, b = 1, c = 0
• 
  a = 1, b = 1, c = 1
• 
  a = 1, b = 1, c = −1
• 
  a = 1, b = 1, c = 0,05
• 
  a = 1,5, b = 0, c = 0,5

См. также

• Овал
• Овал Кассини
• Декартов лист

Ссылки

• Д. К. Бобылёв. Декартовы овалы // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Овалы Декарта Архивная копия от 19 февраля 2012 на Wayback Machine (англ.)