Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: ${\displaystyle \arcsin x;}$ число, синус которого равен ${\displaystyle x}$)
• арккосинус (обозначение: ${\displaystyle \arccos x;}$ число, косинус которого равен ${\displaystyle x}$ и т. д.)
• арктангенс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$; в иностранной литературе ${\displaystyle \arctan x}$)
• арккотангенс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x}$; в иностранной литературе ${\displaystyle \operatorname {arccot} x}$ или (намного реже) ${\displaystyle \operatorname {arccotan} x}$)
• арксеканс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arcsec} x}$)
• арккосеканс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arccosec} x}$; в иностранной литературе ${\displaystyle \operatorname {arccsc} x}$)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }},}$ но они не прижились^[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п.^[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, ${\displaystyle \arcsin 1/2}$ означает множество углов ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}$, синус которых равен ${\displaystyle 1/2}$. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии ${\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1}$ все решения уравнения ${\displaystyle \sin x=\alpha }$ можно представить в виде ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}$^[3]

Основное соотношение

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}$

Функция arcsin

График функции ${\displaystyle y=\arcsin x}$

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого ${\displaystyle \sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},\quad |x|\leqslant 1.}$

Функция ${\displaystyle y=\arcsin x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }$ при ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}$
• ${\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }$ при ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }$ (область определения),
• ${\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }$ (область значений).

Свойства функции arcsin

• ${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }$ (функция является нечётной).
• ${\displaystyle \arcsin x>0}$ при ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$.
• ${\displaystyle \arcsin x=0}$ при ${\displaystyle x=0.}$
• ${\displaystyle \arcsin x<0}$ при ${\displaystyle -1\leqslant x<0.}$
• ${\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$

Получение функции arcsin

Дана функция ${\displaystyle y=\sin x}$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие ${\displaystyle y=\arcsin x}$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок ${\displaystyle [-\pi /2;\pi /2]}$, на котором функция ${\displaystyle y=\sin x}$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке ${\displaystyle [-\pi /2;\pi /2]}$ существует обратная функция ${\displaystyle y=\arcsin x}$, график которой симметричен графику функции ${\displaystyle y=\sin x}$ относительно прямой ${\displaystyle y=x}$.

Функция arccos

График функции ${\displaystyle y=\arccos x}$

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого ${\displaystyle \cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.}$

Функция ${\displaystyle y=\arccos x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

• ${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$ при ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}$
• ${\displaystyle \arccos(\cos y)=y}$ при ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}$
• ${\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1]}$ (область определения),
• ${\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ]}$ (область значений).

Свойства функции arccos

• ${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}$ Функция центрально-симметрична относительно точки ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),}$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• ${\displaystyle \arccos x>0}$ при ${\displaystyle -1\leqslant x<1.}$
• ${\displaystyle \arccos x=0}$ при ${\displaystyle x=1.}$
• ${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}=2\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}}$

Получение функции arccos

Дана функция ${\displaystyle y=\cos x}$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие ${\displaystyle y=\arccos x}$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок ${\displaystyle [0;\pi ]}$, на котором функция ${\displaystyle y=\cos x}$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке ${\displaystyle [0;\pi ]}$ существует обратная функция ${\displaystyle y=\arccos x}$, график которой симметричен графику функции ${\displaystyle y=\cos x}$ относительно прямой ${\displaystyle y=x}$.

Функция arctg

График функции ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла ${\displaystyle y,}$ выраженное в радианах, для которого ${\displaystyle \operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.}$

Функция ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}$ при ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}$ при ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty$ ;\infty )} (область определения),
• ${\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$ (область значений).

Свойства функции arctg

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }$ (функция является нечётной).
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=2\operatorname {arctg} {\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}}=2\operatorname {arctg} {\frac {{\sqrt {1+x^{2}}}-1}{x}}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arcctg} x.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix}}$, где ${\displaystyle \operatorname {arth} }$ — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
• ${\displaystyle \operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.}$

Получение функции arctg

Дана функция ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал ${\displaystyle (-\pi /2;\pi /2)}$, на котором функция ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале ${\displaystyle (-\pi /2;\pi /2)}$ существует обратная функция ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$, график которой симметричен графику функции ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}$ относительно прямой ${\displaystyle y=x}$.

Функция arcctg

График функции ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x}$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .}$

Функция ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x}$ при ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y}$ при ${\displaystyle 0<y<\pi ,}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty$ ;\infty ),}
• ${\displaystyle E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).}$

Свойства функции arcctg

• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.}$ График функции центрально-симметричен относительно точки ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x>0}$ при любых ${\displaystyle x.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=2\operatorname {arctg} ({\sqrt {x^{2}+1}}-x)=2\operatorname {arcctg} ({\sqrt {x^{2}+1}}+x).}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.}$

Получение функции arcctg

Дана функция ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал ${\displaystyle (0;\pi )}$, на котором функция ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале ${\displaystyle (0;\pi )}$ существует обратная функция ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$, график которой симметричен графику функции ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ относительно прямой ${\displaystyle y=x}$.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, ${\displaystyle x\rightarrow -x}$) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2.}$

Функция arcsec

График функции ${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${\displaystyle \sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .}$

Функция ${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

• ${\displaystyle \sec(\operatorname {arcsec} x)=x}$ при ${\displaystyle |x|\geqslant 1,}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec}(\sec y)=y}$ при ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty$ ;-1]\cup [1,\infty )} (область определения),
• ${\displaystyle E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}};\pi ]}$ (область значений).

Свойства функции arcsec

• ${\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.}$ График функции центрально-симметричен относительно точки ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec} x\geqslant 0}$ при любых ${\displaystyle x.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\geqslant 1\\\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}.}$

Функция arccosec

График функции ${\displaystyle y=\operatorname {arccosec} x}$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${\displaystyle \operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.}$

Функция ${\displaystyle y=\operatorname {arccosec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

• ${\displaystyle \operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x}$ при ${\displaystyle |x|\geqslant 1,}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y}$ при ${\displaystyle -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty$ ;-1]\cup [1,\infty )} (область определения),
• ${\displaystyle E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2}};0)\cup (0;{\frac {\pi }{2}}]}$ (область значений).

Свойства функции arccosec

• ${\displaystyle \operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x}$ (функция является нечётной).
• ${\displaystyle \operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x}}.}$

Разложение в ряды

• ${\displaystyle \displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$^[4]
• ${\displaystyle \displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$
• ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle \arcsin {x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. ${\displaystyle sin(arcsin((x))=x}$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. ${\displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}$ ${\displaystyle cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))}}}$ Исходя из тригонометрического тождества(${\displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}$) — получаем. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}$ Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. ${\displaystyle D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2}};-{\frac {\pi }{2}}]}$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Получается. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos {x}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: ${\displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'}$ ${\displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${\displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}$ Получается. ${\displaystyle (arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arctg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: ${\displaystyle tg(arctg(x))=x}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}\cdot (arctg(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: ${\displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество(${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}$): ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}$ Получается. ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: ${\displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'}$ ${\displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккотангенса. ${\displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}$ Получается. ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcsec} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: ${\displaystyle arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'}$ ${\displaystyle (arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})}$ ${\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}$ ${\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}$ Получается. ${\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arccosec} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: ${\displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'}$ ${\displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${\displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}$ Получается. ${\displaystyle (arccosec(x))'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}$

Для действительных x ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}$

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины ${\displaystyle a}$ является противолежащим для угла ${\displaystyle \alpha }$, то

${\displaystyle \alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).}$

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

${\displaystyle \arcsin z=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}+i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}})=-i\operatorname {arsh} \,iz,}$

${\displaystyle \arccos z={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})=-i\operatorname {arch} z,}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} z={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz))=-i\operatorname {arth} iz,}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} z={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right)=i\operatorname {arcth} iz,}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} z=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1+{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {1}{z}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {arccosec} z=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).}$

См. также

• Обратные гиперболические функции
• Теорема Данжуа — Лузина

Примечания

1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
2. Здесь знак ⁻¹ определяет функцию x = f⁻¹ (y), обратную функции y = f (x)
3. Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.
4. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой ${\displaystyle \arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},}$ где ${\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x}$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
• Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
• Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции