Нормальное число

Нормальное число (нормальное число порядка ${\displaystyle n}$) — всякое действительное число, в записи которого в заданной ${\displaystyle n}$-ричной системе счисления произвольная группа из ${\displaystyle k}$ последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной ${\displaystyle n^{-k}}$ для каждого ${\displaystyle k=1,2,\dots }$.

Числа, нормальные при записи их по любому основанию ${\displaystyle n}$, называются абсолютно нормальными.

Любое рациональное число в записи по любому основанию ненормально. Это следует из того факта, что в записи рационального числа существует период. Например, 1/3 = 0,33333… не имеет в записи наперёд заданной последовательности цифр и потому не является нормальным. Отсюда следует, что нормальными числами могут являться только иррациональные числа.

Так как в записи нормального числа содержится любая наперёд заданная последовательность цифр, из этого следует, что начиная с некоторой цифровой позиции в записи любого нормального числа закодированы все созданные и пока не созданные литературные произведения, изображения, кинофильмы и др. Например, в десятичной записи числа ${\displaystyle \pi }$ последовательность 0123456789 впервые начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой. По состоянию на 2024 год неизвестно, является ли число ${\displaystyle \pi }$ нормальным^[1].

История

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Чемпернаун (англ. D. G. Champernowne) доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел — 0,1234567891011121314151617… (постоянная Чемпернауна), нормально по основанию 10^[2]. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2^[3].

В 2002 году^[4] установлено, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Открытые задачи

Неизвестно, являются ли числа ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e}$ нормальными.

С одной стороны, неизвестно, верно ли, что любое иррациональное алгебраическое число нормально; с другой стороны, не известен ни один пример иррационального алгебраического числа, про которое доказано, что оно ненормально.

Примечания

1. Наварро, Хоакин Секреты числа пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга. — М.: Де Агостини, 2014. — 143 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 7). — ISBN 978-5-9774-0629-1.
2. D. G. Champernowne. The construction of decimals normal in the scale of ten // J. London Math. Soc. — 1933. — Т. 8, вып. 4. — С. 254–260. — doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.
3. Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546. Архивировано 14 июля 2015 года.
4. Becher, V.; Figueira, S. (2002), "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science, 270: 947—958, doi:10.1016/S0304-3975(01)00170-0

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Normal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Champernowne Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.