Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком ${\displaystyle [a,+\infty )}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал ${\displaystyle [a,b]}$ конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Несобственный интеграл первого рода

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена и непрерывна на интервале ${\displaystyle [a,+\infty )}$ и ${\displaystyle \forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$. Тогда:

1. Если ${\displaystyle \exists \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx=I\in \mathbb {R} }$, то используется обозначение ${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае ${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного ${\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$ (${\displaystyle \pm \infty }$ или ${\displaystyle \nexists }$), то интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ называется расходящимся к «${\displaystyle \infty }$», «${\displaystyle \pm \infty }$», или просто расходящимся.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена и непрерывна на множестве от ${\displaystyle (-\infty ,b]}$ и ${\displaystyle \forall B<b\Rightarrow \exists \int \limits _{B}^{b}f(x)dx}$. Тогда:

1. Если ${\displaystyle \exists \lim _{B\to -\infty }\int \limits _{B}^{b}f(x)dx=I\in \mathbb {R} }$, то используется обозначение ${\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx}$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае ${\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx}$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного ${\displaystyle \lim _{B\to -\infty }\int \limits _{B}^{b}f(x)dx}$ (${\displaystyle \pm \infty }$ или ${\displaystyle \nexists }$), то интеграл ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx}$ называется расходящимся к «${\displaystyle \infty }$», «${\displaystyle \pm \infty }$», или просто расходящимся.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{+\infty }f(x)dx}$, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1}$

Несобственные интегралы II рода

Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на ${\displaystyle (a,b]}$, терпит бесконечный разрыв в точке x = a и ${\displaystyle \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta )}$. Тогда:

1. Если ${\displaystyle \exists \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in \mathbb {R} }$, то используется обозначение ${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty }$ или ${\displaystyle \nexists )}$, то обозначение сохраняется, а ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ называется расходящимся к «${\displaystyle \infty }$», «${\displaystyle \pm \infty }$», или просто расходящимся.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на ${\displaystyle [a,b)}$ , терпит бесконечный разрыв при x = b и ${\displaystyle \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a}^{b-\delta }f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta )}$. Тогда:

1. Если ${\displaystyle \exists \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in \mathbb {R} }$, то используется обозначение ${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty }$ или ${\displaystyle \nexists )}$, то обозначение сохраняется, а ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ называется расходящимся к «${\displaystyle \infty }$», «${\displaystyle \pm \infty }$», или просто расходящимся.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ терпит разрыв во внутренней точке ${\displaystyle c}$ отрезка ${\displaystyle [a;b]}$, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx.}$

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{dx \over x}=\lim _{\delta \to 0+0}{\Bigl .}\ln |x|{\Bigr |}_{0+\delta }^{1}=0-\lim _{\delta \to 0+0}\ln \delta =+\infty }$

Отдельный случай

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}}$.

Тогда можно найти несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}f(x)dx+\sum _{j=1}^{k-1}{\int \limits _{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)dx}+\int \limits _{x_{k}}^{+\infty }f(x)dx}$

Критерий Коши

1. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на множестве от ${\displaystyle [a,+\infty )}$ и ${\displaystyle \forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$.

Тогда ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ сходится ${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon }$

2. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на ${\displaystyle (a,b]}$ и ${\displaystyle \forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx}$.

Тогда ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ сходится ${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left|\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon }$

Абсолютная сходимость

Интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ \left(\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\right)}$ называется абсолютно сходящимся, если ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ \left(\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx\right)}$сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ }$ называется условно сходящимся, если ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ }$ сходится, а ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ }$ расходится.

См. также

• Интеграл Римана
• Интеграл Лебега
• Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.

Литература

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.