Деление с остатком

Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом^[1]. Пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа, причём ${\displaystyle b\neq 0.}$ Деление с остатком ${\displaystyle a}$ («делимого») на ${\displaystyle b}$ («делитель») означает нахождение таких целых чисел ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$, что выполняется равенство:

${\displaystyle a=b\cdot q+r}$

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: ${\displaystyle q}$ называется неполным частным от деления, а ${\displaystyle r}$ — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|,}$ то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения ${\displaystyle a=b\cdot q+r}$ при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что ${\displaystyle a}$ нацело делится на ${\displaystyle b.}$

Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последнего термина стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).

Примеры

• При делении с остатком положительного числа ${\displaystyle a=78}$ на ${\displaystyle b=33}$ получаем неполное частное ${\displaystyle q=2}$ и остаток ${\displaystyle r=12}$.

Проверка: ${\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}$

• При делении с остатком отрицательного числа ${\displaystyle a=-78}$ на ${\displaystyle b=33}$ получаем неполное частное ${\displaystyle q=-3}$ и остаток ${\displaystyle r=21}$.

Проверка: ${\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}$

• При делении с остатком отрицательного числа ${\displaystyle a=-9}$ на ${\displaystyle b=-13}$ получаем неполное частное ${\displaystyle q=1}$ и остаток ${\displaystyle r=4}$.

Проверка: ${\displaystyle -9=1\cdot (-13)+4.}$

• При делении с остатком положительного числа ${\displaystyle a=9}$ на ${\displaystyle b=90}$ получаем неполное частное ${\displaystyle q=0}$ и остаток ${\displaystyle r=9}$.

Проверка: ${\displaystyle 9=90\cdot 0+9.}$

• При делении с остатком числа ${\displaystyle a=78}$ на ${\displaystyle b=26}$ получаем неполное частное ${\displaystyle q=3}$ и остаток ${\displaystyle r=0}$, то есть деление выполняется нацело.

Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.

Определение

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль^[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше^[1].

Для вычисления неполного частного от деления ${\displaystyle a}$ на положительное число ${\displaystyle b}$ следует разделить (в обычном смысле) ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

${\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,}$ когда ${\displaystyle b>0}$.

где полускобки ${\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor }$ обозначают взятие целой части. Значение неполного частного ${\displaystyle q}$ позволяет вычислить значение остатка ${\displaystyle r}$ по формуле:

${\displaystyle r=a-b\cdot q.}$

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

${\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,}$ когда ${\displaystyle b<0}$.

Операция «mod» и связь со сравнениями

Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$, обозначаемой mod:

${\displaystyle r=a{\bmod {b}}.}$

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю ${\displaystyle b}$. Формула для ${\displaystyle r}$ влечёт выполнение сравнения:

${\displaystyle r\equiv a{\pmod {b}},}$

однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$, необходимого для того, чтобы ${\displaystyle r}$ было остатком.

В программировании

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык	Неполное частное	Остаток	Знак остатка
ActionScript		%	Делимое
Ada		mod	Делитель
		rem	Делимое
Бейсик	\	MOD	Не определено
Си (ISO 1990)	/	%	Не определено
Си (ISO 1999)	/	%	Делимое[3]
C++ (ISO 2003)	/	%	Не определено[4]
C++ (ISO 2011)	/	%	Делимое[5]
C#	/	%	Делимое
ColdFusion		MOD	Делимое
Common Lisp		mod	Делитель
		rem	Делимое
D	/	%	Делимое[6]
Delphi	div	mod	Делимое
Eiffel	//	\\	Делимое
Erlang	div	rem	Делимое
Euphoria		remainder	Делимое
Microsoft Excel (англ.)	QUOTIENT()	MOD()	Делитель
Microsoft Excel (рус.)	ЧАСТНОЕ()	ОСТАТ()
FileMaker	Div()	Mod()	Делитель
Fortran		mod	Делимое
		modulo	Делитель
GML (Game Maker)	div	mod	Делимое
Go	/	%	Делимое
Haskell	div	mod	Делитель
	quot	rem	Делимое
J		|~	Делитель
Java	/	%	Делимое[7]
	Math.floorDiv	Math.floorMod	Делитель (1.8+)
JavaScript	.toFixed(0)	%	Делимое
Lua		%	Делитель
Mathematica	Quotient	Mod	Делитель
MATLAB	idivide(?, ?, 'floor')	mod	Делитель
	idivide	rem	Делимое
MySQL	DIV	MOD %	Делимое
Oberon	DIV	MOD	+
Objective Caml		mod	Не определено
Pascal	div	mod	Делимое[8]
Perl	Нет	%	Делитель
PHP	Нет[9]	%	Делимое
PL/I		mod	Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)		mod	Делитель
PureBasic	/	Mod %	Делимое
Python	//	%	Делитель
QBasic	\	MOD	Делимое
R	%/%	%%	Делитель
RPG		%REM	Делимое
Ruby	/	%	Делитель
Scheme		modulo	Делитель
SenseTalk		modulo	Делитель
		rem	Делимое
Tcl		%	Делитель
Verilog (2001)		%	Делимое
VHDL		mod	Делитель
		rem	Делимое
Visual Basic	\	Mod	Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка

Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к ${\displaystyle -\infty }$.

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма ${\displaystyle n}$ копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: n div 100 и n mod 100. Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: x div 16, y div 16 и (x mod 16, y mod 16) соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти^[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: ${\displaystyle q=\left[{\frac {a}{b}}\right]}$, где ${\displaystyle [x]}$, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды mod остаток программируется как ${\displaystyle a-qb}$.

Если ${\displaystyle b}$ положительно, а знак ${\displaystyle r}$ совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой ${\displaystyle r'=(b+(a\operatorname {mod} b))\operatorname {mod} b}$.

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки ${\displaystyle 2^{n}}$ — это битовый сдвиг ${\displaystyle a\gg n}$ (для чисел со знаком — арифметический) и ${\displaystyle a\operatorname {\&} (2^{n}-1)}$.

Обобщения

Вещественные числа

Если два числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, ${\displaystyle a}$ может быть поделено на ${\displaystyle b}$ без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}$, то ${\displaystyle a=bq+r}$, где ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$.

Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3}$ (неполное частное);

${\displaystyle 7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6}$ (остаток).

Гауссовы целые числа

Гауссово число — это комплексное число вида ${\displaystyle a+bi}$, где ${\displaystyle a,b}$ — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число ${\displaystyle u}$ можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число ${\displaystyle v}$, то есть представить в виде:

${\displaystyle u=vq+r}$,

где частное ${\displaystyle q}$ и остаток ${\displaystyle r}$ — гауссовы числа, причём ${\displaystyle |r|<|v|.}$ Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, ${\displaystyle 7+2i}$ можно разделить на ${\displaystyle 3-i}$ тремя способами:

${\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}$

Многочлены

При делении с остатком двух многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

${\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}$, причём ${\displaystyle \deg(r)<\deg(g)}$.

Пример

${\displaystyle {\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2}$ (остаток 3), так как: ${\displaystyle 2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}$.

См. также

• Алгоритм Евклида
• Делимость
• Наибольший общий делитель
• Непрерывная дробь
• Сравнение по модулю

Примечания

1. Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. Архивировано 20 ноября 2012 года.
2. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
3. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
4. «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (location) (ссылка). «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
5. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
6. D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
7. Арнолд, Кен, Гослинг, Дж., Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
8. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
9. PHP: Arithmetic Operators — Manual  (неопр.). Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
10. DIV — Unsigned Divide  (неопр.). Дата обращения: 21 ноября 2022. Архивировано 21 ноября 2022 года.