Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.
Меандр
Если задана ориентированная прямая L на плоскости R2, меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R2, которая поперечно пересекает прямую в 2n точках для некоторого положительного n. Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему. Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.
Пример
Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:
Меандровые числа
Число различных меандров порядка n называется меандровым числом Mn. Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность A005315 в OEIS).
Меандровые перестановки
(1 8 5 4 3 6 7 2)
Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, …, 2n} и определяется меандровой системой следующим образом:
- Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
- Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
- Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.
На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической нотации, её не следует путать с линейной нотацией.
Если π является меандровой перестановкой, то π2 состоит из двух циклов, одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками (не путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.
Открытый меандр
Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R2, открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R2, которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n. Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.
Примеры
Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:
Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:
Открытые меандровы числа
Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом mn. Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность A005316 в OEIS).
Полумеандр
Если дан ориентированный луч R на плоскости R2, полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R2, которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n. Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.
Примеры
Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:
Полумеандровые числа
Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом Mn (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность A000682 в OEIS).
Свойства меандровых чисел
Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:
- Mn = m2n−1
Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:
- Mn ≤ Mn ≤ M2n
Для n > 1 меандрические числа чётны:
- Mn ≡ 0 (mod 2)
Ссылки
- «Approaches to the Enumerative Theory of Meanders» by Michael La Croix
- Статья «Меандры» в журнале Квант авторства В. И. Арнольда
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
