Машинный ноль

Машинный ноль (Машинный нуль) — числовое значение с таким отрицательным порядком, которое воспринимается машиной как ноль^[1].

Представление машинного нуля в числах с плавающей запятой при двузначном порядке

Машинный эпсилон (англ. Machine epsilon) — числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительную точность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа. Абсолютное значение «машинного эпсилон» зависит от разрядности сетки применяемой ЭВМ, типа (разрядности) используемых при расчетах чисел, и от принятой в конкретном трансляторе структуры представления вещественных чисел (количества бит, отводимых на мантиссу и на порядок).^[2] Формально машинный эпсилон обычно определяют как минимальное из чисел ε, для которого 1+ε>1 при машинных расчетах с числами данного типа^[3]. Альтернативное определение — максимальное ε, для которого справедливо равенство 1+ε=1.

Практическая важность машинного эпсилон связана с тем, что два (отличных от нуля) числа являются одинаковыми с точки зрения машинной арифметики, если их относительная разность по модулю меньше (при определении первого типа) или не превосходит (при определении второго типа) машинного эпсилон.

В языках программирования

Язык Си

В языке Си существуют предельные константы FLT_EPSILON, DBL_EPSILON и LDBL_EPSILON являющиеся «машинными эпсилон», соответствующими первому определению: FLT_EPSILON = 2⁻²³ ≈ 1.19e-07 — это машинный эпсилон для чисел типа float (32 бита), DBL_EPSILON = 2⁻⁵² ≈ 2.20e-16 — для типа double (64 бита), и LDBL_EPSILON = 2⁻⁶³ ≈ 1.08e-19 — для типа long double (80 бит). При альтернативном определении соответствующие машинные эпсилон будут вдвое меньше: 2⁻²⁴ , 2⁻⁵³ и 2⁻⁶⁴ .В некоторых компиляторах Си (например gcc, Intel’s C/C++ compiler) допускается использование переменных четверной точности (_float128, _Quad). Соответствующие машинные эпсилон равны 2⁻¹¹² ≈ 1.93e-34 и 2⁻¹¹³ ≈ 9.63e-35.

Пример

Пример вычисления машинного эпсилона (не путать с машинным нулём) на языке Си.

float macheps(void)
{
	float e = 1.0f;

	while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f)
		e /= 2.0f;
	return e;
}

Пример на языке C++.

# include <iostream>
# include <stdint.h>
# include <iomanip>

template<typename float_t, typename int_t>
float_t machine_eps()
{
	union
	{
		float_t f;
		int_t   i;
	} one, one_plus, little, last_little;

	one.f    = 1.0;
	little.f = 1.0;
	last_little.f = little.f;

	while(true)
	{
		one_plus.f = one.f;
		one_plus.f += little.f;

		if( one.i != one_plus.i )
		{
			last_little.f = little.f;
			little.f /= 2.0;
		}
		else
		{
			return last_little.f;
		}
	}
}

int main()
{
	std::cout << "machine epsilon:\n";
	std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl;
	std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl;
}

Пример на Python

def machineEpsilon(func=float):
    machine_epsilon = func(1)
    while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1):
        machine_epsilon_last = machine_epsilon
        machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2)
    return machine_epsilon_last

Вывод может быть таким (с использованием IPython):

In [1]: machineEpsilon(int)
Out[1]: 1

In [2]: machineEpsilon(float)
Out[2]: 2.2204460492503131e-16

In [3]: machineEpsilon(complex)
Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j)

См. также

• −0 (программирование)

Примечания

1. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. Учебное пособие. — Directmedia, 2014-05-20. — 432 с. — ISBN 9785445838753. Архивировано 7 сентября 2021 года.
2. Подбельский В. В., Фомин С. С. Программирование по на языке Си: Учеб.пособие. Москва: Изд-во Финансы и статистика, 2003.
3. Игорь Юсупович Алибеков. Численные методы, У/П. — МГИУ, 2008-01-01. — 221 с. — ISBN 9785276014623. Архивировано 7 сентября 2021 года.