Матрица перехода

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности ${\displaystyle n}$^[1] — это последовательность из ${\displaystyle n}$ векторов ${\displaystyle (\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$, таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода, или замены.

Определение

Если векторы ${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}} }$ выражаются через векторы ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} }$ как:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n1}\mathbf {a} _{n}}$.

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n2}\mathbf {a} _{n}}$.

${\displaystyle \ldots }$.

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}}$.

то матрица перехода от базиса ${\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} )}$ к базису ${\displaystyle (\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}} }$) будет:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&...&\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&...&\alpha _{2n}\\...&...&...&...\\\alpha _{n1}&\alpha _{n2}&...&\alpha _{nn}\end{pmatrix}}}$

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$
Поворот При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	Относительно OX на угол φ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi &0\\0&\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$	Относительно OY на угол ψ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \psi &0&\sin \psi &0\\0&1&0&0\\-\sin \psi &0&\cos \psi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$
	Против часовой стрелки ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}}$		Относительно OZ на угол χ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \chi &-\sin \chi &0&0\\\sin \chi &\cos \chi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$
Перемещение При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
• ${\displaystyle P_{e\rightarrow e'}^{-1}=P_{e'\rightarrow e}}$

Пример поиска матрицы

Найдём матрицу перехода от базиса ${\displaystyle a_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}},a_{2}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2\end{pmatrix}},a_{3}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}}}$ к единичному базису ${\displaystyle b_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},b_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},b_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ путём элементарных преобразований

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{array}}\right)}$ следовательно ${\displaystyle P_{a\rightarrow b}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix}}}$

См. также

• Цепи Маркова
• Стохастическая матрица
• Матрица поворота

Примечания

1. David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications, Global Edition (англ.). — Pearson, 2021. — P. 247. — 755 p.

Ссылки

• Матрицы перехода от базиса к базису