Экспоненциальная запись

Запрос «Мантисса» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Экспоненциа́льная за́пись в информатике и вычислительной математике — представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Удобна для представления очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

${\displaystyle N=M\cdot n^{p},}$

где

N — записываемое число;

M — мантисса;

n — основание показательной функции;

p (целое) — порядок;

${\displaystyle n^{p}}$ — характеристика числа.

Примеры:

1 000 000 (один миллион): ${\displaystyle 1{,}0\cdot 10^{6}}$; N = 1 000 000, M = 1,0, n = 10, p = 6.

1 201 000 (один миллион двести одна тысяча): ${\displaystyle 1{,}201\cdot 10^{6}}$; N = 1 201 000, M = 1,201, n = 10, p = 6.

−1 246 145 000 (минус один миллиард двести сорок шесть миллионов сто сорок пять тысяч): ${\displaystyle -1{,}246145\cdot 10^{9}}$; N = −1 246 145 000, M = −1,246145, n = 10, p = 9.

0,000001 (одна миллионная):${\displaystyle 1{,}0\cdot 10^{-6}}$; N = 0,000001, M = 1,0, n = 10, p = −6.

0,000000231 (двести тридцать одна миллиардная): ${\displaystyle 231\cdot 10^{-9}=2{,}31\cdot 100\cdot 10^{-9}=2{,}31\cdot 10^{2}\cdot 10^{-9}=2{,}31\cdot 10^{-9+2}=2{,}31\cdot 10^{-7}}$; N = 0,000000231, M = 2,31, n = 10, p = −7.

В логарифмических таблицах значения десятичных логарифмов чисел и функций также представлены мантиссами (порядок логарифма вычисляется без труда)^[1].

Нормализованная запись

Любое данное число может быть записано в виде ${\displaystyle M\cdot 10^{p}}$ многими путями; например 350 может быть записано как ${\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{2}}$ или ${\displaystyle 35\cdot 10^{1}}$.

В нормализованной научной записи порядок ${\displaystyle p}$ выбирается такой, чтобы абсолютная величина ${\displaystyle M}$ оставалась не меньше единицы, но строго меньше десяти (${\displaystyle 1\leqslant |M|<10}$). Например, 350 записывается как ${\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{2}}$. Этот вид записи, называемый также стандартным видом, позволяет легко сравнивать два числа. Кроме того, он удобен для десятичного логарифмирования: целая часть логарифма, записанного «в искусственной форме», равна порядку числа, дробная часть логарифма определяется из таблицы только по мантиссе, что было крайне важным до массового распространения калькуляторов в 1970-х годах.

В инженерной нормализованной записи (в том числе в информатике) мантисса обычно выбирается в пределах ${\displaystyle 0{,}1<|a|\leqslant 1}$: ${\displaystyle 350=0,35\cdot 10^{3}}$^{[источник не указан 1914 дней]}.

В некоторых калькуляторах как опция может быть использована запись с мантиссой ${\displaystyle 1\leq |a|<1000}$ и с порядком, кратным 3, так, например, ${\displaystyle 3{,}52\cdot 10^{-8}}$ записывается как ${\displaystyle 35{,}2\cdot 10^{-9}}$. Такая запись проста для чтения (${\displaystyle 640\cdot 10^{6}}$ легче прочесть, как «640 миллионов», чем ${\displaystyle 6{,}4\cdot 10^{8}}$) и удобна для выражения физических величин в единицах измерения с десятичными приставками: кило-, микро-, тера- и так далее.

Экспоненциальная запись числа в компьютере

Представление чисел в приложениях

Основная масса прикладных программ для компьютера обеспечивает представление чисел в удобной для восприятия человеком форме, т.е. в десятичной системе счисления.

На компьютере (в частности в языках программирования высокого уровня) числа в экспоненциальном формате (его ещё называют научным) принято записывать в виде MEp, где:

• M — мантисса,

• E — экспонента (от англ. «exponent»), означающая «·10^» («…умножить на десять в степени…»),

• p — порядок.

Например:

${\displaystyle {\text{1,602176565E-19}}=1{,}602176565\cdot 10^{-19}}$ (элементарный заряд в Кл);

${\displaystyle {\text{1,380650424E-23}}=1{,}380650424\cdot 10^{-23}}$ (постоянная Больцмана в Дж/К);

${\displaystyle {\text{6,02214129E23}}=6{,}02214129\cdot 10^{23}}$ (число Авогадро).

В программировании часто используют символ «+» для неотрицательного порядка и ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя — точку:

${\displaystyle {\text{1.048576E+06}}=1\,048\,576;~{\text{3.14E+00}}=3,14}$.

Для улучшения читаемости иногда используют строчную букву e: ${\displaystyle {\text{6,02214129e23}}}$

ГОСТ 10859-64 "Машины вычислительные. Коды алфавитно-цифровые для перфокарт и перфолент"^[англ.] вводил специальный символ для экспоненциальной записи числа "⏨", представляющий собой число 10, написанное мелким шрифтом на уровне строки. Такая запись должна была использоваться в АЛГОЛе. Этот символ включён в Unicode 5.2 с кодом U+23E8 "Decimal Exponent Symbol"^[2]. Таким образом, например, современное значение скорости света могло быть записано как 2.99792458⏨+08 м/с.

Внутренний формат представления чисел

Внутренний формат представления вещественных чисел в компьютере тоже является экспоненциальным, но основанием степени выбрано число 2 вместо 10. Это связано с тем, что все данные в компьютере представлены в двоичной форме (битами). Под число отводится определённое количество компьютерной памяти (часто это 4 или 8 байт). Там содержится следующая информация:

• Знаковый бит (он обычно занимает старшее место), который указывает знак числа. Установленный бит говорит о том, что число отрицательное (исключение может составлять число ноль — иногда он тоже может иметь установленный знаковый бит).
• Порядок — целое число, которое задаёт нужную степень двойки. Обычно это не истинная величина порядка, а сдвинутая на некоторую константу таким образом, чтобы число было неотрицательным. Так, наименьший возможный порядок (он отрицательный) представлен числом 0.
• Мантисса (обычно за исключением старшего бита, который всегда установлен в нормализованном числе).

Более подробно форматы представления чисел описаны стандартом IEEE 754-2008.

Следует^[стиль] заметить, что представление вещественных чисел по стандарту IEEE 754 появилось относительно недавно^{[уточнить]}, и на практике можно встретить и другие форматы. Например, в IBM System/360 (1964 г., советский аналог – ЕС ЭВМ) основание системы счисления для вещественных чисел было равно 16, а не 2, и для сохранения совместимости эти форматы поддерживаются во всех последующих мэйнфреймах IBM, включая выпускаемые по сей день машины архитектуры z/Architecture (в последних поддерживаются также десятичные и двоичные вещественные числа).

Примечания

1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 33. — 544 с.
2. Unicode Character Database: Derived Property Data  (неопр.). Дата обращения: 18 декабря 2012. Архивировано 12 апреля 2019 года.

Ссылки

• Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой (рус.) — Хабрахабр