Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли ${\displaystyle G}$ — связная компактная коммутативная подгруппа Ли ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle G}$, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

Свойства

• Как группа Ли, максимальный тор ${\displaystyle T}$ изоморфен прямому произведению нескольких копий «окружности» ${\displaystyle S^{1}}$ (мультипликативной группы всех комплексных чисел, равных по модулю ${\displaystyle 1}$).
• Всякий максимальный тор группы ${\displaystyle G}$ содержится в максимальной компактной подгруппе группы ${\displaystyle G}$;
• Любые два максимальных тора группы ${\displaystyle G}$ (так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в ${\displaystyle G}$.
• Пусть, далее, ${\displaystyle G}$ является компактной группой.
  • Объединение всех максимальных торов группы ${\displaystyle G}$ совпадает с ${\displaystyle G}$,
  • пересечение всех максимальных торов группы ${\displaystyle G}$ совпадает с центром ${\displaystyle G}$.
  • Алгебра Ли максимального тора ${\displaystyle T}$ является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$. Более того,
    • всякая максимальная коммутативная подалгебра в ${\displaystyle g}$ так получается.
  • Централизатор максимального тора ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle G}$ совпадает с ${\displaystyle T}$.

Литература

• Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
• Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
• Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.