Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle f}$, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, то есть: ${\displaystyle f:X\to Y}$. Тогда областью (или множеством) значений функции ${\displaystyle f}$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества ${\displaystyle Y}$ и обозначается ${\displaystyle f(X)}$, ${\displaystyle E(f)}$, ${\displaystyle R(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f}$ (от англ. range):

${\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}$.

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество ${\displaystyle Y}$ в обозначении функции ${\displaystyle f:X\to Y}$^[4], а множеством значений функции называется совокупность всех значений ${\displaystyle f(X)}$ функции ${\displaystyle f}$.

Множество значений ${\displaystyle f(X)}$ называется также образом множества ${\displaystyle X}$ при отображении ${\displaystyle f}$.

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции^[3].

См. также

• Область определения функции