Лоренцево сокращение

Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращением длины движущегося тела или масштаба, — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы и пространство имеют меньшую длину (линейные размеры) в направлении движения, чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Строгое определение

Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта K и расстояние между концами стержня, измеренное в К («собственная» длина стержня), равно l. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью v относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта K'. В таком случае расстояние l' между концами стержня, измеренное в системе отсчета K', составит

${\displaystyle l'={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ l}$ , где c — скорость света.

При этом расстояния поперёк движения одинаковы в обеих системах отсчета K и K'.

Величина γ, обратная множителю с корнем, называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки системы отсчёта K' составит

${\displaystyle T'={\frac {1}{\gamma }}{\frac {l}{v}}}$ .

Вывод

Преобразования Лоренца

Сокращение длины может быть выведено из преобразований Лоренца несколькими способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),\\t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Через известную длину движущегося объекта

Пусть в инерциальной системе отсчета К ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина ${\displaystyle L}$ определяется через одновременное положение концов ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$. Собственную длину объекта в К'-системе можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из К в К' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, так как объект покоится в К'-системе, и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:^[1]

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right),x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right).}$

Поскольку ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$, то, положив ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$ и ${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$, собственная длина в К'-системе, получается

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(1)}},}$

В соответствии с этим измеренная длина в К-системе получается уменьшенной

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(2)}}}$

В соответствии с принципом относительности объекты, покоящиеся в К-системе, будут также уменьшены в К'-системе. Поменяв симметрично нештрихованные и штрихованные обозначения:

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(3)}}}$

Тогда уменьшенная длина, измеряемая в К'-системе:

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(4)}}}$

Через известную собственную длину

Если объект покоится в К-системе и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в К'-системе необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные, и временные координаты:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}+vt_{1}\right),&&&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}+vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}+vx_{1}/c^{2}\right),&&&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}+vx_{2}/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Так как ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ и ${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$, получаемые результаты не одновременны:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma L_{0}\\\Delta t'&=\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}}$

Для получения одновременных положений концов необходимо вычесть из ${\displaystyle \Delta x'}$ расстояние, пройденное вторым концом со скоростью ${\displaystyle v}$ в течение времени ${\displaystyle \Delta t'}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'-v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}}$

Таким образом, движущаяся длина в К'-системе уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в К'-системе

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

Объяснение

Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. Говоря иначе, «один и тот же момент времени» с точки зрения системы отсчёта, где стержень движется, не будет являться одним и тем же моментом с точки зрения системы отсчёта, связанной со стержнем.^[3] То есть процедура измерения расстояния в одной системе отсчёта с точки зрения любой другой системы отсчёта является не процедурой измерения чистого расстояния, когда положения, например, концов стержня засекаются в один и тот же момент времени, а смесью измерения пространственного расстояния и промежутка времени, которые вместе составляют инвариантный, то есть не зависящий от системы отсчёта, пространственно-временной интервал.

См. также: преобразования Лоренца

Реальность сокращения длины

Диаграмма Минковского мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года, изображающая сокращение длины. В результате движения двух стержней с длиной покоя ${\displaystyle A'B'=A''B''=L_{0}}$ со скоростью 0,6c в противоположных направлениях видно, что ${\displaystyle A^{\ast }B^{\ast }<L_{0}}$ .

В 1911 году Владимир Варичак^[англ.] утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «всего лишь кажущееся субъективное явление, вызванное способом упорядочивания наших часов и измерением длин».^[4][5] Эйнштейн опубликовал опровержение:

Автор необоснованно заявил о различии моих взглядов и взглядов Лоренца относительно физических фактов. Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины, только запутывает. Его «на самом деле» не существует, поскольку оно не существует для сопутствующего наблюдателя; хотя оно «действительно» существует, то есть в том смысле, что оно в принципе может быть продемонстрировано физическими средствами сторонним наблюдателем.^[6]Альберт Эйнштейн, 1911

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто результат произвольных определений, касающихся способа упорядочивания часов и измерения длин. Он предложил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B' и A"B" будут концами двух стержней одинаковой длины L₀, измеренных на x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль оси x*, рассматриваемой в состоянии покоя, с одинаковой по отношению к ней скоростью. Затем концевые точки A'A" встречаются в точке A*, а B'B" встречаются в точке B*. Эйнштейн показал, что длина A*B* короче, чем A'B 'или A''B'', что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней по отношению к этой оси.^[6]

Значение для физики

Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов, как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».

Примечания

1. Born, Max (1964), Einstein's Theory of Relativity, Dover Publications, ISBN 0-486-60769-0
2. Bernard Schutz. Lorentz contraction // A First Course in General Relativity (неопр.). — Cambridge University Press, 2009. — С. 18. — ISBN 0521887054. Архивировано 3 декабря 2023 года.
3. И.П. Стаханов Релятивистское сокращение длины // Зарембо Л.К., Болотовский Б.М., Стаханов И.П Школьникам о современной физике. Акустика. Теория относительности. Биофизика. — М., Просвещение, 1990. — c. 56-69
4. On Ehrenfest's Paradox  (неопр.). Дата обращения: 2 февраля 2021. Архивировано 25 октября 2020 года.
5. Miller, A.I. (1981), "Varičak and Einstein", Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911), Reading: Addison–Wesley, pp. 249–253, ISBN 0-201-04679-2
6. Einstein, Albert (1911). "Zum Ehrenfestschen Paradoxon. Eine Bemerkung zu V. Variĉaks Aufsatz". Physikalische Zeitschrift. 12: 509—510.; Original: Der Verfasser hat mit Unrecht einen Unterschied der Lorentzschen Auffassung von der meinigen mit Bezug auf die physikalischen Tatsachen statuiert. Die Frage, ob die Lorentz-Verkürzung wirklich besteht oder nicht, ist irreführend. Sie besteht nämlich nicht "wirklich", insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht existiert; sie besteht aber "wirklich", d. h. in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter.

Литература

• Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608-609.

См. также

• Форма релятивистских объектов
• Прецессия Томаса
• Релятивистское замедление времени
• Парадокс шеста и сарая