Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

• Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ и их конечные расширения.
• Неархимедовы локальные поля характеристики ${\displaystyle p\neq 0}$: формальные ряды Лорана над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$. (Все их конечные расширения тоже изоморфны полям того же вида.)

Свойства

Общие свойства

• Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
• На любом локальном поле ${\displaystyle K}$ можно ввести абсолютную величину ${\displaystyle |a|}$ такую, что

  ${\displaystyle |a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}}$

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества ${\displaystyle X\subset K}$ с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

• В неархимедовом локальном поле ${\displaystyle K}$ с абсолютной величиной ${\displaystyle |{*}|}$ можно дать следующие определения:
  • Кольцо целых чисел

    ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.}$

    • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в ${\displaystyle (K,|{*}|)}$.
  • Единицы в кольце целых чисел определяются как ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}}$.
    • Они образуют группу и единичную сферу в ${\displaystyle (K,|{*}|)}$.
  • Единственный ненулевой простой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ в кольце целых чисел является открытым единичным шаром

    ${\displaystyle \{a\in K:|a|<1\},}$

и его образующий элемент ${\displaystyle \omega \in {\mathfrak {m}}}$ называется униформизирующим элементом ${\displaystyle K}$.

• Поле остатков ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$ является конечным, поскольку компактно и дискретно.
• При этом ${\displaystyle |\omega |={\tfrac {1}{|k|}}}$, где ${\displaystyle |k|}$ — мощность поля остатков ${\displaystyle k}$.

• Каждый ненулевой элемент ${\displaystyle a\in K}$ можно записать как ${\displaystyle a=\omega ^{n}\cdot u}$, где ${\displaystyle u}$ — единичный элемент, ${\displaystyle n}$ — целое число, определяемое однозначно по ${\displaystyle a}$.
  • В частности ${\displaystyle |a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.}$

См. также

Глобальное поле