Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.
Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.
Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).
Пусть у треугольника точка — центр вписанной окружности, точка — центр вневписанной окружности, противоположной вершине , а точка — точка пересечения отрезка с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка равноудалена от , , и .
Частные варианты этого утверждения носят различные названия
Другой вариант задания точки — как центра дуги описанной окружности, не содержащей точки [4].
Под будем понимать углы соответственно. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги , отрезок является биссектрисой угла . Проведя отрезок , заметим, что
потому что внешний к треугольнику , а также
Значит, треугольник равнобедренный, т.е, Равенство следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол Таким образом,
Мы показали, что . Теперь докажем что «ручка» трезубца равна этой же величине.
Продлим сторону за точку и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку . Под будем понимать под будем иметь в виду угол
Тогда нам нужно понять, что треугольник равнобедренный, то есть, что .
С одной стороны,
и,
Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники , , вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы (рис 2).
Из этого следует, что — биссектриса в треугольнике . По совершенно аналогичным причинам и тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что — внешние биссектрисы к треугольнику (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).
Из этого получим, что середины отрезков лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).
Получим, что середины сторон лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.
Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника c тупым углом , достаточно рассмотреть остроугольный треугольник с ортоцентром , и применить к нему те же рассуждения.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.