Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера

Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера описывает нелинейную динамику электромагнитного поля в вакууме. Был впервые получен Вернером Гейзенбергом и Гансом Эйлером^[1] в 1936 году для учёта влияния эффектов квантовой электродинамики на свободное электромагнитное поле через рождение пар виртуальных электронов-позитронов.

Физические предпосылки

Рис. 1. Диаграмма Фейнмана для поляризации вакуума (однопетлевое приближение)

Рис. 2. Фейнмановская диаграмма дельбрюковского рассеяния

При выводе формулы эффекты поляризации вакуума учитываются в однопетлевом приближении, справедливом для электромагнитных полей, мало изменяющихся на расстояниях порядка комптоновской длины волны. Пример такого процесса изображён на рисунке для одной входящей и одной выходящей фотонной линии. Замкнутая петля учитывает рождение электрона (верхняя часть петли) и позитрона (нижняя часть петли) в левой вершине и их уничтожение в правой. С учётом таких процессов плотность лагранжиана в отличие от классической электродинамики выражается не только через инварианты поля, ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}\right)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} }$, но и через постоянную тонкой структуры, ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1}{137}}}$, а также массу, m, и заряд, e, электрона^[2]. Лагранжиан для сколь угодно сильных полей, общая формула: ${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]{\frac {ds}{s^{3}}}}$

В случае слабых полей: ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]}$

В частности, на основе полученного лагранжиана можно вычислить амплитуду рассеяния фотона на фотоне^[3] (см. рисунок 2), которая для свободных фотонов оказывается исключительно малой. Тем не менее оказывается возможным наблюдение рассеяния Дельбрюка при взаимодействии гамма-фотона с виртуальным фотоном (например, в кулоновском поле атомного ядра)^[4].

Эксперименты и наблюдения

Расщепление фотона в сильном магнитном поле было измерено в 2002 году^[5]. Представляет интерес возможность астрофизических наблюдений предсказываемого в рамках формализма Гейзенберга — Эйлера двойного лучепреломления для электромагнитных волн в сверхсильных магнитных полях. В 2016 году группа астрономов из Италии, Польши и Великобритании сообщила^[6] о наблюдении света, излучаемого нейтронной звездой (пульсар RX J1856.5−3754). Напряжённость исключительно сильного магнитного поля вблизи звезды составляет 10¹³ Гс, так что эффект двойного лучепреломления может быть достаточно заметным и объяснять наблюдавшуюся степень поляризации света ${\displaystyle \approx 16}$%. Однако этот результат не общепризнан, и есть исследователи, считающие, что приблизительность модели нейтронной звезды при неизвестном направлении её магнитного поля не позволяет сделать определённые выводы^[7].

Примечания

1. Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons (нем.) // Zeitschrift fur Physik. — 1936. — Bd. 98. — S. 714–732. Архивировано 28 мая 2018 года.
2. Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — С. 237—238.
3. Karplus R., Neuman M. The Scattering of Light by Light (англ.) // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 83. — P. 776.
4. Akhmadaliev Sh. Zh. et al. Delbrück scattering at energies of 140—450 MeV (англ.) // Phys. Rev. C. — 1998. — Vol. 58. — P. 2844.
5. Akhmadaliev Sh. Zh. et al. Experimental investigation of high-energy photon splitting in atomic fields (англ.) // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89. — P. 061802.
6. Mignani R. P. et al. Evidence for vacuum birefringence from the first optical-polarimetry measurement of the isolated neutron star RX J1856.5−3754 (англ.) // Month. Not. Roy. Astron. Soc. — 2017. — Vol. 465. — P. 492.
7. Fan X. et al. The OVAL experiment: A new experiment to measure vacuum magnetic birefringence using high repetition pulsed magnets (англ.) // arXiv preprint arXiv:1705.00495. — 2017. Архивировано 28 мая 2018 года.