Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы ${\displaystyle \ T(s)}$ может быть представлена в виде дроби

${\displaystyle \ T(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}}$.

Устойчивость ${\displaystyle \ T(s)}$ достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости ${\displaystyle \ s}$. В правой полуплоскости их быть не должно. Если ${\displaystyle \ T(s)}$ получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией ${\displaystyle \ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$, тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции ${\displaystyle \ 1+F(s)}$. Выражение ${\displaystyle \ 1+F(s)=0}$ называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур ${\displaystyle \Gamma _{s}\ }$, охватывающий на ${\displaystyle \ s}$-плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость ${\displaystyle \ F(s)}$) при помощи функции ${\displaystyle \ F(s)}$ таким образом, что получившийся контур ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}\ }$ будет охватывать центр ${\displaystyle \ F(S)}$-плоскости ${\displaystyle \ n}$ раз, причём ${\displaystyle \ n=z-p}$, где ${\displaystyle \ z}$ — число нулей, а ${\displaystyle \ p}$ — число полюсов функции ${\displaystyle \ F(s)}$. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура ${\displaystyle \Gamma _{s}\ }$, а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

• участок, идущий вверх по оси ${\displaystyle \ j\omega \ }$, от ${\displaystyle 0-j\infty }$ до ${\displaystyle 0+j\infty }$.
• полуокружность радиусом ${\displaystyle r\to \infty }$, начинающаяся в точке ${\displaystyle 0+j\infty }$ и достигающая конца в точке ${\displaystyle 0-j\infty }$ по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы ${\displaystyle \ F(s)}$, в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции ${\displaystyle \ F(s)}$ минус количество полюсов ${\displaystyle \ F(s)}$ в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку ${\displaystyle \ -1+j0}$, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции ${\displaystyle \ 1+F(s)}$. Заметив, что функция ${\displaystyle \ 1+F(s)}$ имеет такие же полюса, что и функция ${\displaystyle \ F(s)}$, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть ${\displaystyle \Gamma _{s}\ }$ — замкнутый контур в комплексной плоскости, ${\displaystyle \ p}$ — число полюсов ${\displaystyle \ F(s)}$, охваченных контуром ${\displaystyle \Gamma _{s}\ }$, а ${\displaystyle \ z}$ — число нулей ${\displaystyle \ F(s)}$, охваченных ${\displaystyle \Gamma _{s}\ }$ — то есть число полюсов ${\displaystyle \ T(s)}$, охваченных ${\displaystyle \Gamma _{s}\ }$. Получившийся контур в ${\displaystyle \ F(s)}$-плоскости, ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}\ }$ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку ${\displaystyle \ -1+j0}$ ${\displaystyle \ n}$ раз, где ${\displaystyle \ n=z-p}$.

В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году^[1]):

Система порядка ${\displaystyle \ n}$ устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходит ${\displaystyle \ n}$ координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.

Следствия критерия Найквиста — Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией ${\displaystyle \ F(s)}$ устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов ${\displaystyle \ F(s)}$ вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов ${\displaystyle \ F(s)}$ в правой полуплоскости.
• Количество дополнительных охватов (больше, чем ${\displaystyle \ n+p}$) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также

• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• ЛАФЧХ

Примечания

1. § 5.3. Критерий устойчивости Михайлова  (неопр.). scask.ru. Дата обращения: 7 августа 2022.

Литература

• Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
• Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
• Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4.