Квант проводимости

Квант проводимости, обозначенный символом ${\displaystyle G_{0}}$, является квантованной единицей электрической проводимости. Он определяется элементарным зарядом ${\displaystyle e}$ и постоянной Планка ${\displaystyle h}$ как^[1].  :

${\displaystyle G_{0}={\frac {2e^{2}}{h}}}$ = 7.748091 729 … ${\displaystyle \times 10^{-5}}$ См.

Он появляется при измерении проводимости квантового точечного контакта и, в более общем плане, является ключевым компонентом формулы Ландауэра^[1], которая связывает электрическую проводимость квантового проводника с его квантовыми свойствами. Эта величина в два раза больше постоянной фон Клитцинга (${\displaystyle 2/R_{K}}$).

Обратите внимание, что квант проводимости не означает, что проводимость любой системы должна быть целым числом, кратным ${\displaystyle G_{0}}$. Вместо этого он описывает проводимость двух квантовых одномерных каналов (один канал для спина вверх и один канал для спина вниз), если вероятность прохождения электрона, который входит в канал, равна единице, то есть если транспорт через канал является баллистическим. Если коэффициент прохождения меньше единицы, то проводимость канала меньше ${\displaystyle G_{0}}$. Полная проводимость системы равна сумме проводимости всех параллельных квантовых каналов, составляющих систему^[2].

Вывод

В 1D проводе, соединяющем два резервуара с химическими потенциалами ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ адиабатически:

Плотность состояний равна:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \epsilon }}={\frac {2}{hv}}~,}$

где:

множитель ${\displaystyle 2}$ обусловлен вырождением состояния по электронному спину;

${\displaystyle h}$ — постоянная Планка;

${\displaystyle v}$ — скорость электрона.

Напряжение:

${\displaystyle V=-{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})}{e}}~,}$

где:

${\displaystyle e}$ — заряд электрона.

Проходящий одномерный ток — это плотность тока:

${\displaystyle j=-ev(\mu _{1}-\mu _{2}){\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \epsilon }}~.}$

Это приводит к квантованной проводимости:

${\displaystyle G_{0}={\frac {I}{V}}={\frac {j}{V}}={\frac {2e^{2}}{h}}~.}$

Наблюдение

Квантованная (квантовая^[1]) проводимость возникает в проводах, которые являются баллистическими проводниками, когда длина свободного пробега намного больше, чем длина провода: ${\displaystyle l_{\rm {el}}\gg L}$. B. J. van Wees et al. впервые наблюдали эффект в точечном контакте в 1988 г.^[3]. Углеродные нанотрубки имеют квантованную проводимость^[1], не зависящую от диаметра^[4]. Квантовый эффект Холла можно использовать для точного измерения значения кванта проводимости.

Мотивация из принципа неопределенности

Простая, интуитивно понятная мотивация для кванта проводимости может быть получена с использованием минимальной неопределенности энергия-время. ${\displaystyle \Delta E\Delta t\approx h}$, где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Электрический ток ${\displaystyle I}$ в квантовом канале можно выразить как ${\displaystyle e/\tau }$, где ${\displaystyle \tau }$ — время пролёта, ${\displaystyle e}$ — заряд электрона. Подача напряжения ${\displaystyle V}$ приводит к приросту энергии ${\displaystyle E=eV}$. Если предположить, что неопределенность энергии порядка ${\displaystyle E}$, а неопределенность времени порядка ${\displaystyle \tau }$, то можно записать ${\displaystyle \Delta E\Delta t\approx (eV)(e/I)\approx h}$ . Используя тот факт, что электрическая проводимость ${\displaystyle G=I/V}$, это приводит к:

${\displaystyle G\approx e^{2}/h~.}$