Квантор

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают:

• Квантор всеобщности (обозначение: ${\displaystyle \forall }$, читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»).
• Квантор существования (обозначение: ${\displaystyle \exists }$, читается: «существует…» или «найдётся…»).
• Квантор единственности (обозначение: !, читается: «…является единственным»).

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием.

В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например:

• Квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).

Примеры

Обозначим ${\displaystyle P(x)}$ предикат «x делится на 9 без остатка». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (ложные):

1. любое натуральное число кратно 9;
2. каждое натуральное число кратно 9;
3. все натуральные числа кратны 9;

следующим образом:

${\displaystyle (\forall x\in \mathbb {N} )P(x)}$.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

1. существуют натуральные числа, кратные 9;
2. найдётся натуральное число, кратное 9;
3. хотя бы одно натуральное число кратно 9.

Их формальная запись:

${\displaystyle (\exists x\in \mathbb {N} )P(x)}$.

Введение в понятие

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ простых чисел задан предикат ${\displaystyle P(x)}$: «Простое число ${\displaystyle x}$ нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число ${\displaystyle x}$ нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом ${\displaystyle P(x)}$ слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число ${\displaystyle x}$, являющееся нечётным» (например, ${\displaystyle x=3}$).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

• Высказывание ${\displaystyle \forall xP(x)}$ означает, что область значений переменной ${\displaystyle x}$ включена в область истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$.

(«При всех значениях ${\displaystyle x}$ утверждение верно»).

• Высказывание ${\displaystyle \exists xP(x)}$ означает, что область истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$ не пуста.

(«Существует ${\displaystyle x}$, при котором утверждение верно»).

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Свободные переменные.

• Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
• свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
• переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
• все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Замкнутая формула.

• Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Связанная переменная.

• Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.

Связанное переименование, свободное переименование

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

${\displaystyle \lnot (\forall x)P(x)=(\exists x)\lnot P(x)}$
${\displaystyle \lnot (\exists x)P(x)=(\forall x)\lnot P(x)}$

(Общее правило можно сформулировать так: если перед квантором появляется знак отрицания, то квантор перебрасывает его через себя, а сам меняется на другой)

Стоит отметить, что данное правило применимо только в классической логике, в интуиционистской логике правые части равенств влекут левые, но не наоборот.

История появления

Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имён^[1].

Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ${\displaystyle \exists }$ для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г., и ${\displaystyle \forall }$ для квантора общности (нем. Alle^{[источник не указан 3788 дней]} — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.

Примечания

1. «Но слова: всякое, любое, некоторое и т. д., указывающие на всеобщее или частное значение других слов, являются не именами, а только частями имен». (Томас Гоббс «О теле»)

Литература

• Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ссылки

• Кванторы