Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

Для термина «Формула Гаусса» см. также другие значения.

В численном анализе квадратурная формула Га́усса — Лаге́рра, или метод Гаусса — Лагерра, — это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса — Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx}$

рядом по ${\displaystyle n}$ точкам:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$

где ${\displaystyle x_{i}}$ — это ${\displaystyle i}$-й корень полинома Лагерра ${\displaystyle L_{n}(x)}$, а коэффициенты ${\displaystyle w_{i}}$^[1]:

${\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}L_{n+1}^{2}(x_{i})}}.}$

Для функции произвольного вида

Для интеграла произвольной функции можно записать:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }g(x)e^{-x}\,dx,}$

где ${\displaystyle g(x)=f(x)e^{x}}$.

Далее можно применить квадратурную формулу Гаусса — Лагерра к новой функции ${\displaystyle g(x)}$.