Интеграл Дарбу

Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

Определение

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ определена функция вещественного переменного ${\displaystyle f}$.

Разбиением ${\displaystyle \tau }$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. ^[1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения ${\displaystyle \tau }$ обозначим за ${\displaystyle x_{i}}$, причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

${\displaystyle \tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b}$.

Множество всех разбиений отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ обозначим за ${\displaystyle T}$.

Частичным отрезком разбиения ${\displaystyle \Delta _{i}}$ назовём отрезок ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$.

${\displaystyle \Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]}$

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за ${\displaystyle \Delta x_{i}}$.

${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$

Диаметром разбиения ${\displaystyle d}$ назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения ${\displaystyle \Delta x_{i}}$.^[2]

${\displaystyle d=\max \Delta x_{i}}$

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за ${\displaystyle m_{i}}$ и ${\displaystyle M_{i}}$.

${\displaystyle {{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$,

${\displaystyle {{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$.

Тогда, нижней суммой Дарбу ${\displaystyle s(f,\tau )}$ функции ${\displaystyle f}$ на разбиении ${\displaystyle \tau }$ называется

${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$

Верхней суммой Дарбу ${\displaystyle S(f,\tau )}$ называется

${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$^[3]

Тогда нижним интегралом Дарбу ${\displaystyle I_{*}}$ называется

${\displaystyle I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )}$

Верхним интегралом Дарбу ${\displaystyle I^{*}}$ называется

${\displaystyle I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )}$^[4]

Альтернативные определения

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

• Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.^[5]

${\displaystyle I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )}$

${\displaystyle I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )}$

• Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.^[6]

${\displaystyle I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )}$

${\displaystyle I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )}$

Свойства

Свойства сумм Дарбу

• При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.^[7]

${\displaystyle \forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})}$

• Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.^[4]

Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения

• При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned}}\quad \tau '}$ — измельчение ${\displaystyle \tau }$.

Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.

Пусть d — диаметр ${\displaystyle \tau }$, измельчение ${\displaystyle \tau '}$ — получено добавлением не более чем ${\displaystyle l}$ точек к ${\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ — точные грани функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$. Тогда

${\displaystyle s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (M-m)ld}$

${\displaystyle S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (M-m)ld}$^[5]

• Пусть ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )}$ — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками ${\displaystyle (\tau ,\xi )}$ верно следующее неравенство:

${\displaystyle s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )}$^[8]

• Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.^[7] Пусть ${\displaystyle \Xi }$ — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении ${\displaystyle \tau }$. Тогда

${\displaystyle s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )}$,

${\displaystyle S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )}$.

Свойства интегралов Дарбу

• Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.^[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен ${\displaystyle +\infty }$, для неограниченной снизу нижний интеграл равен ${\displaystyle -\infty }$.
• Для сумм и интегралов верны следующие неравенства

${\displaystyle s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )}$^[9]

• Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.^[5]

${\displaystyle \exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )}$ и ${\displaystyle I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )}$

${\displaystyle \exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )}$ и ${\displaystyle I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )}$

Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.

• Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на ${\displaystyle [a;b]}$ ограниченной на этом отрезке функции ${\displaystyle f}$ равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.

${\displaystyle f}$ — интегрируема по Риману ${\displaystyle \Leftrightarrow I_{*}=I^{*}}$^[10]

Вариации и обобщения

Кратный интеграл Дарбу

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть ${\displaystyle G}$ — измеримое по Жордану множество, ${\displaystyle \tau }$ — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

${\displaystyle \tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}}$

За ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ обозначим меру Жордана ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

Множество всех разбиений ${\displaystyle G}$ будем обозначать ${\displaystyle T}$.

Диаметр разбиения ${\displaystyle d}$ определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

${\displaystyle \max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|x-y|}$

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за ${\displaystyle m_{i}}$ и ${\displaystyle M_{i}}$.

${\displaystyle {{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$,

${\displaystyle {{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$.

Тогда, нижней суммой Дарбу ${\displaystyle s(f,\tau )}$ функции ${\displaystyle f}$ на разбиении ${\displaystyle \tau }$ называется

${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$

Верхней суммой Дарбу ${\displaystyle S(f,\tau )}$ называется

${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$^[11]

Тогда нижним интегралом Дарбу ${\displaystyle I_{*}}$ называется

${\displaystyle I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )}$

Верхним интегралом Дарбу ${\displaystyle I^{*}}$ называется

${\displaystyle I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )}$^[12]

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.^[13]

Примечания

1. Ильин, 1985, с. 330.
2. Ильин, 1985, с. 331.
3. Архипов, 1999, с. 190.
4. Ильин, 1985, с. 337.
5. Ильин, 1985, с. 338.
6. Архипов, 1999, с. 208.
7. Ильин, 1985, с. 336.
8. Ильин, 1985, с. 335.
9. Архипов, 1999, с. 191.
10. Кудрявцев, 2003, с. 553.
11. Архипов, 1999, с. 559.
12. Архипов, 1999, с. 548.
13. Архипов, 1999, с. 550.

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.