Интегральный логарифм — специальная функция , определяемая интегралом
l
i
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
ln
t
.
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}
График функции
l
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}
Для устранения сингулярности при
x
=
1
{\displaystyle x=1}
иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм :
L
i
(
x
)
=
∫
2
x
d
t
ln
t
.
{\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}
Эти две функции связаны соотношением:
l
i
(
x
)
−
L
i
(
x
)
=
l
i
(
2
)
≈
1,045
163
780
117
492
…
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)-\mathrm {Li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots }
Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:
l
i
(
x
)
=
E
i
(
ln
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x).}
Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке
μ
≈
1,451
369
234
883
381
050
283
968
485
892
027
449
493
…
{\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }
(число Рамануджана — Солднера ).
Из тождества, связывающего
l
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}
и
E
i
(
ln
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ei} (\ln x)}
следует ряд:
l
i
(
x
)
=
E
i
(
ln
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
∑
n
=
1
∞
(
ln
x
)
n
n
⋅
n
!
,
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},}
где
γ
≈
0,577
215
664
901
532
…
{\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }
— постоянная Эйлера — Маскерони .
Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном :
l
i
(
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
x
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
ln
x
)
n
2
n
−
1
n
!
∑
k
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
2
⌋
1
2
k
+
1
.
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}
Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел . Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем
x
/
ln
x
{\displaystyle x/\ln {x}}
. При справедливости гипотезы Римана выполняется[1]
π
(
x
)
=
L
i
(
x
)
+
O
(
x
ln
2
(
x
)
)
.
{\displaystyle \pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).}
Для не слишком больших
x
{\displaystyle x}
π
(
x
)
<
L
i
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)<\mathrm {Li} \,(x)}
, однако доказано, что при некотором достаточно большом
x
{\displaystyle x}
неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза , в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 1019 [2] и 1,3971672·10316 ≈ e 727,951336108 [3] .
Jan Büthe. An analytic method for bounding ψ (x ) // Math. Comp. — 2018. — Vol. 87. — P. 1991-2009. — arXiv :1511.02032 . — doi :10.1090/mcom/3264 . Доказательство использует гипотезу Римана.
Yannick Saouter, Timothy Trudgian, and Patrick Demichel. A still sharper region where π (x ) − li(x ) is positive // Math. Comp. — 2015. — Vol. 84. — P. 2433-2446. — doi :10.1090/S0025-5718-2015-02930-5 . MR : 3356033 . Указанная оценка не требует гипотезы Римана.
Математический энциклопедический словарь. — М. , 1995. — с. 238.