Иерархия Хомского

Иерархия Хомского — классификация формальных языков и формальных грамматик, согласно которой они делятся на 4 типа по их условной сложности. Предложена профессором Массачусетского технологического института, лингвистом Ноамом Хомским.

Классификация грамматик

Согласно Хомскому, формальные грамматики можно разделить на четыре типа. Для отнесения грамматики к тому или иному типу необходимо соответствие всех её правил (продукций) некоторым схемам.

Тип 0 — неограниченные

Грамматика с фразовой структурой G — это алгебраическая структура, упорядоченная четвёрка (V_T, V_N, P, S), где^[1]:

• ${\displaystyle V_{T}}$ — алфавит (множество) терминальных символов — терминалов,
• ${\displaystyle V_{N}}$ — алфавит (множество) нетерминальных символов — нетерминалов,
• ${\displaystyle V=V_{T}\cup V_{N}}$ — словарь ${\displaystyle G}$, причём ${\displaystyle V_{T}\cap V_{N}=\varnothing }$
• ${\displaystyle P}$ — конечное множество продукций (правил) грамматики, ${\displaystyle P\subseteq V^{+}\times V^{*}}$
• ${\displaystyle S}$ — начальный символ (источник).

Здесь ${\displaystyle V^{*}}$ — множество всех строк над алфавитом ${\displaystyle V}$, а ${\displaystyle V^{+}}$ — множество непустых строк над алфавитом ${\displaystyle V}$.

К типу 0 по классификации Хомского относятся неограниченные грамматики — грамматики с фразовой структурой, то есть все без исключения формальные грамматики. Правила можно записать в виде:

${\displaystyle \alpha \rightarrow \beta }$,

где ${\displaystyle \alpha \in V^{+}}$ — любая непустая цепочка, содержащая хотя бы один нетерминальный^[2] символ, а ${\displaystyle \beta \in V^{*}}$ — любая цепочка символов из алфавита.

Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.

Тип 1 — контекстно-зависимые

К этому типу относятся контекстно-зависимые (КЗ) грамматики и неукорачивающие грамматики. Для грамматики ${\displaystyle G(V_{T},V_{N},P,S),V=V_{T}\cup V_{N}}$ все правила имеют вид^[3]:

• ${\displaystyle \alpha A\beta \rightarrow \alpha \gamma \beta }$, где ${\displaystyle \alpha ,\beta \in V^{*},\gamma \in V^{+},A\in V_{N}}$. Такие грамматики относят к контекстно-зависимым.
• ${\displaystyle \alpha \rightarrow \beta }$, где ${\displaystyle \alpha ,\beta \in V^{+},1\leq |\alpha |\leq |\beta |}$. Такие грамматики относят к неукорачивающим.

Эти классы грамматик эквивалентны. Могут использоваться при анализе текстов на естественных языках, однако при построении компиляторов практически не используются в силу своей сложности. Для контекстно-зависимых грамматик доказано утверждение: по некоторому алгоритму за конечное число шагов можно установить, принадлежит цепочка терминальных символов данному языку или нет.

Тип 2 — контекстно-свободные

К этому типу относятся контекстно-свободные (КС) грамматики. Для грамматики ${\displaystyle G(V_{T},V_{N},P,S),V=V_{T}\cup V_{N}}$ все правила имеют вид:

• ${\displaystyle A\rightarrow \beta }$, где ${\displaystyle \beta \in V^{+}}$ (для неукорачивающих КС-грамматик) или ${\displaystyle \beta \in V^{*}}$ (для укорачивающих), ${\displaystyle A\in V_{N}}$. То есть грамматика допускает появление в левой части правила только нетерминального символа.

КС-грамматики широко применяются для описания синтаксиса компьютерных языков (см. синтаксический анализ).

Тип 3 — регулярные

К третьему типу относятся регулярные грамматики (автоматные) — самые простые из формальных грамматик. Они являются контекстно-свободными, но с ограниченными возможностями.

Все регулярные грамматики могут быть разделены на два эквивалентных класса, которые для грамматики вида III будут иметь правила следующего вида:

• ${\displaystyle A\rightarrow B\gamma }$ или ${\displaystyle A\rightarrow \gamma }$, где ${\displaystyle \gamma \in V_{T}^{*},A,B\in V_{N}}$ (для леволинейных грамматик).
• ${\displaystyle A\rightarrow \gamma B}$; или ${\displaystyle A\rightarrow \gamma }$, где ${\displaystyle \gamma \in V_{T}^{*},A,B\in V_{N}}$ (для праволинейных грамматик).

Регулярные грамматики применяются для описания простейших конструкций: идентификаторов, строк, констант, а также языков ассемблера, командных процессоров и др.

Классификация языков

Формальные языки классифицируются в соответствии с типами грамматик, которыми они задаются. Однако, один и тот же язык может быть задан разными грамматиками, относящимися к разным типам. В таком случае, считается, что язык относится к наиболее простому из них. Так, язык, описанный грамматикой с фразовой структурой, контекстно-зависимой и контекстно-свободной грамматиками, будет контекстно-свободным.

Так же, как и для грамматик, сложность языка определяется его типом. Наиболее сложные — языки с фразовой структурой (сюда можно отнести естественные языки), далее — КЗ-языки, КС-языки и самые простые — регулярные языки.

Примечания

1. Кук, Бейз, 1990, с. 258,264.
2. Серебряков В. А., Галочкин М. П., Гончар Д. Р., Фуругян М. Г. Теория и реализация языков программирования. — М. : МЗ-Пресс, 2006. — С. 21. — ISBN 5-94073-094-9.
3. Кук, Бейз, 1990, с. 268.

Литература

• Молчанов А. Ю. Системное программное обеспечение. СПб.: Питер, 2006.
• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. ГЛАВА 5. Контекстно-свободные грамматики и языки // Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1.
• Серебряков В. А., Галочкин М. П., Гончар Д. Р., Фуругян М. Г. Теория и реализация языков программирования — М.: МЗ-Пресс, 2006 г., 2-е изд. — ISBN 5-94073-094-9
• Робин Хантер. Основные концепции компиляторов = The Essence of Compilers. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 256. — ISBN 5-8459-0360-2.
• Кук Д., Бейз Г. Глава 8. Языки и грамматики // Компьютерная математика = Computer Mathematics. — М.: Наука. Физматлит, 1990. — 384 с. — ISBN 5-02-014216-6.