Доверительная область

Доверительная область — обобщение понятия доверительного интервала на случай многомерного параметра^{[1][2][3][4][5][6]} целевой функции, которая аппроксимируется с помощью числовой функции, часто квадратичной: если найдена числовая функция, соответствующая точности целевой функции внутри доверительной области, то область расширяется, и наоборот, если точность аппроксимации низкая, то область сужается. Под точностью аппроксимации обычно понимается ширина доверительной области^[7].

Метод доверительной области известен также, как одношаговый метод. В некотором смысле он двойственен методу линейного поиска — в методе доверительной области сначала выбирают размер шага (размер доверительной области), затем его направление, в методе линейного поиска выбирают, сначала направление шага, а затем его размер.

Подходящий размер вычисляется после сравнения отношения ожидаемого улучшения по числовой функции и действительного улучшения, полученного вычислением целевой функции,

В качестве критерия расширения или сужения, используется простой принцип — числовая функция достоверна только в области, где она обеспечивает приемлемую аппроксимацию.

Пример

Концептуально, в алгоритме Левенберга — Марквардта целевая функция итеративно аппроксимируется поверхностью второго порядка, затем решается соответствующая система линейных уравнений и оценка обновляется, после чего цикл повторяется до достижения нужной точности аппроксимации. Если использовать только этот алгоритм и если начальное предположение было «слишком далеко» от оптимального решения, то метод может не дать сходимости к нужной точности аппроксимации. По этой причине алгоритм ограничивает каждый шаг, предотвращая слишком «далёкую» аппроксимацию. Алгоритм определяет «слишком далеко» следующим образом. Вместо решения ${\displaystyle A\,\Delta x=b}$ относительно ${\displaystyle \Delta x}$ метод предлагает решать ${\displaystyle {\big (}A+\lambda \operatorname {diag} (A){\big )}\,\Delta x=b}$, где ${\displaystyle \operatorname {diag} (A)}$ является диагональной матрицей с той же диагональю, что и у матрицы A, а ${\displaystyle \lambda }$ является параметром, который контролирует размер доверительной области. Геометрически, метод добавляет параболоид с центром в ${\displaystyle \Delta x=0}$, что приводит к меньшему шагу каждой итерации.

Смысл заключается в том, чтобы изменять размер доверительной области (${\displaystyle \lambda }$). На каждой итерации квадратичная аппроксимация предсказывает уменьшение целевой функции ${\displaystyle \Delta f_{p}}$ (здесь и ниже ${\displaystyle f_{p}}$ означает полученное аппроксимацией значение, а ${\displaystyle f_{a}}$ означает действительное значение функции), которая ожидается меньшей по сравнению с истинным уменьшением. Если дано ${\displaystyle \Delta x}$, мы можем вычислить

${\displaystyle \Delta f_{a}=f(x)-f(x+\Delta x).}$

После вычисления отношения ${\displaystyle \Delta f_{p}/\Delta f_{a}}$ мы можем изменить размер доверительной области. В общем случае ожидается, что ${\displaystyle \Delta f_{p}}$ будет чуть меньше, чем ${\displaystyle \Delta f_{a}}$, так что отношение окажется в интервале между 0.25 и 0.5. Если отношение больше 0.5, то значит взят слишком большой шаг, поэтому требуется расширить доверительную область (уменьшить ${\displaystyle \lambda }$) и продолжить итерации. Если отношение меньше 0.25, то истинная функция «слишком сильно» отличается от аппроксимации в доверительной области, значит требуется уменьшить доверительную область (увеличиваем ${\displaystyle \lambda }$) и продолжить итерации.

Литература

• Andrew R. Conn, Nicholas I. M. Gould, Philippe L. Toint. Trust-Region Methods. — (MPS-SIAM Series on Optimization).
• Byrd R. H, Schnabel R. B., Schultz G. A. A trust region algorithm for nonlinearly constrained optimization // SIAM J. Numer. Anal.,. — 1987. — Т. 24. — С. 1152–1170.
• Sorensen D. C. Newton’s Method with a Model Trust Region Modification // SIAM J. Numer. Anal.. — 1982. — Т. 19, № 2.
• Yuan Y. A review of trust region algorithms for optimization // ICIAM 99: Proceedings of the Fourth International Congress on Industrial & Applied Mathematics, Edinburgh. — Oxford University Press, USA, 2000.
• Yuan Y. Recent Advances in Trust Region Algorithms // Math. Program.. — 2015.