Гладкая функция

Гладкая функция порядка 0 — непрерывная функция.

Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая непрерывную производную.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ — дифференцируемая ${\displaystyle k}$ раз функция, плюс к этому ${\displaystyle k}$-я производная является непрерывной.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle \infty }$ — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle \omega }$ или ${\displaystyle a}$ — вещественно-аналитическая функция, то есть функция, разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).

Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка ${\displaystyle k}$ на множестве ${\displaystyle X}$ обозначается как ${\displaystyle C^{k}(X)}$ и называется классом гладкости. Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом: ${\displaystyle C^{0}\supset C^{1}\supset C^{2}\supset \ldots \supset C^{\infty }\supset C^{\omega }}$; таким образом, гладкая функция порядка ${\displaystyle k}$ является гладкой и всех порядков меньших ${\displaystyle k}$. Гладкие функции порядка ${\displaystyle k}$ также называют ${\displaystyle k}$-гладкими функциями.

Гладкие функции на различных множествах

Под областью значений гладкой функции всегда понимают ${\displaystyle \mathbb {R} }$; в случае множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ говорят о гладкой вектор-функции, а в случае произвольного многообразия — о гладком отображении. Под областью определения гладкой функции может пониматься вообще любое множество, имеющее структуру многообразия.

На подмножествах ${\displaystyle \mathbb {R} }$ гладкие функции могут быть определены на промежутках. На множестве из одной точки любая функция считается гладкой любого порядка. На интервалах работает определение приведённое выше, на полуинтервалах или отрезках в концевых точках рассматривается односторонняя производная. Также ${\displaystyle k}$-гладкая функция определяется для произвольного объединения промежутков и изолированных точек как функция, ${\displaystyle k}$-гладкая на каждом из них.

На подмножествах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ всё работает аналогично, гладкость определяется на изолированных точках, открытых множествах, замкнутых областях и на различных других.

На гладком многообразии порядка ${\displaystyle k}$ понятие гладкой функции может быть определено только до порядка ${\displaystyle k}$ включительно.

Вектор-функция называется ${\displaystyle k}$-гладкой, если у неё все компоненты ${\displaystyle k}$-гладкие.

Приближение аналитическими функциями

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ -- область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f\in C^{k}(\Omega )}$, ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }$. Пусть ${\displaystyle \{K_{p}\}}$ — последовательность компактных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ такая, что ${\displaystyle K_{0}=\varnothing }$, ${\displaystyle K_{p}\subset K_{p+1}}$ и ${\displaystyle \bigcup K_{p}=\Omega }$. Пусть ${\displaystyle \{n_{p}\}}$ — произвольная последовательность положительных целых чисел и ${\displaystyle m_{p}=\min(k,\;n_{p})}$. Наконец, пусть ${\displaystyle \{\varepsilon _{p}\}}$ — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция ${\displaystyle g}$, определённая в ${\displaystyle \Omega }$ такая, что для всякого ${\displaystyle p\geqslant 0}$ выполнено неравенство

${\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}$

где ${\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}}$ обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости, то есть максимума модуля на множестве ${\displaystyle {K_{p+1}\backslash K_{p}}}$) производных функции ${\displaystyle f-g}$ всех порядков от нуля до ${\displaystyle {m_{p}}}$ включительно.

Дробная гладкость

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция ${\displaystyle f}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{r,\alpha }}$, где ${\displaystyle r}$ — целое неотрицательное число и ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 1}$, если имеет производные до порядка ${\displaystyle r}$ включительно и ${\displaystyle f^{(r)}}$ является гёльдеровской с показателем ${\displaystyle \alpha }$.

В переводной литературе, наравне с термином показатель Гёльдера, используется термин показатель Липшица.

См. также

• Кусочно-гладкая функция
• Лемма Адамара
• Лемма Сарда