Вариация (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация.

Вариация (от лат. variation — перемена, изменение) — термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines»^[1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Понятие «вариация» было введено в рамках метода вариаций исследования экстремальных задач, основанного на малых смещениях аргумента и изучения того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название раздела математики, изучающего данную проблематику — «вариационное исчисление»).

Связанные определения

Рассмотрим некоторое пространство ${\displaystyle X}$, на котором задан функционал ${\displaystyle f(x)}$, и ${\displaystyle V}$ — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента ${\displaystyle x_{0}\in X}$, понимают обычно кривую ${\displaystyle x(t,v)}$, где ${\displaystyle \alpha \leqslant t\leqslant \beta }$ при ${\displaystyle \alpha \leqslant 0}$, ${\displaystyle \beta \geqslant 0}$ и ${\displaystyle v\in V}$, в пространстве ${\displaystyle X}$, проходящую через ${\displaystyle x_{0}}$ в определённой близости от ограничений, причём ${\displaystyle x_{0}}$ соответствует значение ${\displaystyle t=0}$. Таким образом, когда ${\displaystyle v}$ пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки ${\displaystyle x_{0}}$.

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда ${\displaystyle V=X}$ и ${\displaystyle x(t,v)=x_{0}+tv}$. В этом случае вариацией называется вектор ${\displaystyle v}$. Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации^[2], вариации, связанные со скользящими режимами^[3].

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.

См. также

• Вариационное исчисление
• Вариация функционала
• Вариация функции
• Вариация Гато
• Вариация Фреше
• Функциональная производная

Примечания

1. Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines (фр.). Turin, 1762.
2. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. — пер. с англ. — М., 1950.
3. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. — 2-е изд. — М., 1969.