Начал своё образование в сельской школе, затем окончил духовное училище. Поступил в Рязанскую духовную семинарию, но уже весной 1918 года она была разогнана новым правительством. После получения среднего образования его мобилизовали в Красную армию. Несмотря на «неправильное» социальное происхождение ему удалось поступить в Военно-медицинскую академию (ВМА) в Петрограде. После окончания он остался в ней работать.
В августе 1939 года возвратился в Ленинград, а уже в 1940 году защитил диссертацию «Структура зубов кроссоптеригий и лабиринтодонтов» на соискание учёной степени доктора биологических наук. В это время он работал в Военно-морской медицинской академии, где он был избран профессором кафедры нормальной анатомии.
Во время войны, в ночь на 1 декабря1941 года вместе с другими сотрудниками Академии пешком по льду Ладожского озера вышел из блокадного Ленинграда. Их эвакуировали в Киров, где они работали в военном госпитале. Даже в те годы не прекратил научную деятельность: за годы войны исследовано 4,5 тысяч человеческих черепов.
В феврале 1943 года ему присвоили звание подполковника медицинской службы.
После окончания войны вернулся в Ленинград и перевёлся в Университет, где он читал студентам курс палеонтологии.
В 1946 году его избрали редактором Государственного всероссийского палеонтологического общества и членом Общества палеонтологии позвоночных[англ.].
В 1947 году возглавил палеонтологическую лабораторию в ЛГУ. Послевоенный период жизни характеризуется целой серией научных работ, особое место среди них занимает монография «Прошлое, настоящее, будущее человека», на написание которой потребовалось более десяти лет. Она была издана в 1957 году в самом конце жизни автора. В 1959 году она была признана лучшей научной работой 1957—58 года в Ленинградском университете и удостоена премии Учёного Совета, выдвинута на соискание Сталинской премии.
Память о нём увековечена в научных названиях целого ряда ископаемых животных, а также в названиях двух географических объектов на карте мира (мыс Быстрова и скала Быстрова). Однако лучшим признанием его заслуг перед научным сообществом служит не прекращающееся до наших дней цитирование его научных трудов.
Латинские названия организмов, данные в честь А. П. Быстрова:
Mycobystrovia lepidographia Gouget et Locquin, 1979
Panderichthys bystrovi Gross, 1941
Psammosteus bystrowi Obruchev, 1965
Syringothenia bystrowi Obut, 1953
А. П. Быстров стал прототипом Ивана Гирина — главного героя романа приключений «Лезвие бритвы» Ивана Ефремова, о чём сам автор говорит в предисловии ко второму изданию произведения, и прототипом Шатрова — героя романа того же автора «Звёздные корабли».
Основные научные публикации:
Быстров А. П. Опыт реконструкции некоторых представителей Северо-Двинской фауны // Труды Палеозоологического института, Москва-Ленинград, изд. АН СССР, 1935, т. IV, С. 289—299. Рис. 5. Тир. 1000.
Быстров А. П. и Ефремов И. А. Benthosuchus sushkini Efr. — лабиринтодонт из эотриаса реки Шарженги // Труды Палеонтологического ин-та, Москва-Ленинград, изд. АН СССР, 1940, т. X, вып.1, С. 1—152. Рис. 90. Тир. 850.
Быстров А. П. Череп парейазавра // Труды Палеонтол. ин-та, Москва, изд. АН СССР, 1957, т. LXVIII Котилозавры и батрахозавры верхней перми СССР, С. 3—18. Рис. 7. Тир. 1250.
Быстров А. П. Прошлое, настоящее, будущее человека. Медгиз, Ленинградское отд., 1957. 314 с. Рис. 350. Тир. 4000.
Научно-популярные статьи:
Быстров А. Лицо доисторического человека // Искра (общедоступный научный журнал), Москва, Государственное издательство, 1923, N 8, С. 13—17. Рис. 8. Тир. 10 000.
Быстров А. Происхождение лошади // Искра (общедоступный научный журнал), Москва, Государственное издательство, 1924, N 11, С. 12—17. Рис. 9. Тир. 18 000.
Быстров А. Ископаемые животные // Искра (общедоступный научный журнал), Москва, Государственное издательство, 1926, N 1, С. 7—11. Рис. 12. Тир. 40 000.
Быстров А. Родословная человека // Искры науки (ежемесячный научно-популярный журнал), Москва, издательство «Гудок» ЦК железнодорожников, 1926, N 9(15), С. 33—35. Рис. 5. Тир. 35 000.
Быстров А. П. Что нужно знать о развитии жизни и происхождении человека. Москва, издательство «Крестьянская Газета», 1926, С. 1—61. Рис. 16. Тир. 15 000.
Быстров А. П. Развитие жизни и происхождение человека. 2-е исправленное издание. Москва, изд. «Крестьянская Газета», 1929, С. 1—80. Рис. 26. Тир. 15 000.
Малоизвестно поэтическое творчество А. П. Быстрова, продолжавшееся с 1923 минимум до 1957 года. Сохранилось около 75 стихотворений, басен, поэм, которые так и не были опубликованы.
Иванов А. О. Алексей Петрович Быстров // Геологический факультет. LXXV лет в очерках жизни и творчества преподавателей. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008. — С. 68—74. Тир. 350.
Соколов Б. С. [iae.newmail.ru/Bystrow/Bystrow.htm Профессор Алексей Петрович Быстров (воспоминания). Палеонтологический журнал, Москва, Наука, 2002, т. 36, № 2. С. 107—112. Тир. 341.]
Иодко О. Капитан «Звёздных кораблей» А. П. Быстров — врач, художник, палеонтолог. Санкт-Петербургский университет, 1995, № 7(3400). С. 24—27.
Чудинов П. К. [iae.newmail.ru/Chudinov/ Три времени Ивана Ефремова. Вступительная статья из книги: Ефремов И. А. Тень минувшего. Рассказы и повести, Москва, Наука, 1991. С. 3—45.]
Чудинов П. К. [iae.newmail.ru/Chud_iae/ Иван Антонович Ефремов: 1907—1972. Москва, Наука, 1987, 224 стр. Тир. 22 200.]
Геккер Р. Ф. [iae.newmail.ru/Bystrow/allusion.htm Иван Антонович Ефремов. Тафономия и вопросы палеогеографии. Межвузовский научный сборник. Издательство Саратовского университета, 1984, С. 6—14. Тир. 300.]
