Remove ads
Бифуркацио́нная па́мять — обобщённое название специфических особенностей поведения динамической системы вблизи бифуркации. Явление известно также под названиями «затягивание потери устойчивости» («stability loss delay for dynamical bifurcations»[a 1][a 2]), «дефектная бифуркация» («imperfect bifurcation»)[a 3], «решения-утки»[a 4][a 5][a 6][b 1][b 2] и «призрачный аттрактор» («ghost attractor»[a 7][прим. 1]).
Сущность эффекта бифуркационной памяти (БП) состоит в появлении особого типа переходного процесса. Обычный переходный процесс характеризуется асимптотическим приближением динамической системы из состояния, заданного её начальными условиями, к состоянию, соответствующему её устойчивому стационарному режиму, в области притяжения которого система оказалась. Однако вблизи бифуркационной границы можно наблюдать два типа переходных процессов: проходя через место исчезнувшего стационарного режима динамическая система на время замедляет своё асимптотическое движение, «как бы вспоминая погибшую орбиту»[a 8], причём число оборотов фазовой траектории в этой области бифуркационной памяти зависит от близости соответствующего параметра системы к его бифуркационному значению, — и лишь затем фазовая траектория устремляется к состоянию, соответствующему устойчивому стационарному режиму системы.
Бифуркационные ситуации порождают в пространстве состояний бифуркационные треки, которые изолируют области необычных переходных процессов (фазовые пятна).
Оригинальный текст (англ.)Bifurcation situations generate in state space bifurcation tracks that isolate regions of unusual transition processes (phase spots).Фейгин, 2004[a 9]
Явления бифуркационной памяти, которые наблюдаются в сингулярно возмущённых уравнениях, можно рассматривать как характерные для тех случаев, когда на некотором отрезке фазовой траектории нарушаются сформулированные в теореме А. Н. Тихонова о предельном переходе[a 10][a 11] достаточные условия устойчивости близости решений возмущённой и невозмущённой систем, но предельный переход выполняется.
В литературных источниках[a 8][a 12] эффект БП связывают с опасными бифуркациями слияния.
Были описаны также двукратные эффекты бифуркационной памяти, которые удалось наблюдать при рассмотрении поведения динамических систем, значения параметров которых выбирались в окрестности либо пересечения бифуркационных границ, либо их близкого расположения.[a 13]
На прямую связь между «решениями-утками» и «задержкой потери устойчивости» указывали Е. Ф. Мищенко и соавт. [1], А. И. Нейштадт[2], Е. А. Щепакина и соавт.[a 14]. М. И. Фейгин придерживался мнения[a 9][a 13] о сходстве между описанным им вариантом «бифуркационной памяти» и исследованной А. И. Нейштадтом «задержкой потери устойчивости».
Remove ads
Утверждается, что термин «бифуркационная память»:
... был введён в работе[a 15] для описания того, что в параметрическом пространстве при пересечении границы области существования определённого типа решений системы дифференциальных уравнений решения системы сохраняют сходство с уже несуществующим типом решений до тех пор, пока значения изменяемого параметра несильно отличается от граничного значения
В математических моделях, описывающих процессы во времени, этот факт известен как следствие теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений[прим. 2] (на конечном промежутке времени) от входящих в них параметров, и с этой точки зрения он не является принципиально новым.Атауллаханов и др., 2007[a 12]
Позже с целью обобщения накопленного опыта исследования было предложено следующее определение:
Динамика с явлениями бифуркационной памяти — это такой переходный процесс, при котором изменения во времени координат динамической системы происходят с приближением изображающей точки к той области фазового пространства, где прежде располагалось стационарное решение этой же самой динамической системы при близких значениях бифуркационного параметра или же где прежде располагалось стационарное решение сопряжённой с ней редуцированной (базовой, «статической», «вырожденной») системы. Особенность такой динамики выражается главным образом в двух феноменах, наблюдаемых на указанном участке переходного процесса: 1) в локальном уменьшении фазовой скорости и 2) в локальном сходстве фазовой траектории с той, которая характерна для уже не существующего стационарного решения.Москаленко и др., 2019[a 16]
Remove ads
Наиболее ранним из описанных на эту тему в научной литературе следует признать, наверное, результат, представленный в 1973 году в Докладах АН СССР[a 17], — который был получен под руководством академика Л. С. Понтрягина и инициировал затем целый ряд зарубежных исследований математической проблемы, известной как «задержка потери устойчивости».[a 9]
Исследования сингулярно возмущённых систем привели в конце 1970-х к выявлению «решений-уток» и развитию теории, получившей название «нестандартный анализ»[a 4][a 5][a 6]. Позднее в работах российских исследователей «решения-уток» рассматриваются как «одномерное медленное интегральное многообразие, „склеенное“ из неустойчивой и устойчивой частей».[3]
Сообщения о явлениях «задержки и памяти» в модифицированной модели ФитцХью—Нагумо были опубликованы в 1980-х[a 18][a 19], причём с указанием на сходство с явлениями «затягивания потери устойчивости», которые исследовал А. И. Нейштадт[a 20][a 1][a 21] примерно в то же время.
Высказано предположение[a 16], что ещё в 1961 г. ФитцХью описал[a 22] явления, которые весьма похожи на БП и что те результаты следует считать наиболее ранними наблюдениями «бифуркационной памяти» в эксперименте. ФитцХью их обозначает словами «квазипороговые феномены», подчёркивая тем самым то обстоятельство, что полученные в его экспериментах результаты существенно отличались от тех, которые обычно наблюдались в экспериментальных работах по физиологии возбудимых тканей и которые были обозначены физиологами как «пороговый эффект» или ответ по принципу «всё или ничего».
Интерес к исследованию странного поведения динамических систем в некоторой области пространства состояний был снова вызван стремлением объяснить нелинейные эффекты, обнаруженные при управлении неустойчивыми на курсе судами (транспортное средство для перевозки по воде) и проявляющиеся в начальной неуправляемости или временном понижении управляемости судном.[a 8][a 9]
Начиная с 2001 г. российские исследователи описывают также разновидность решений, обозначенных как «чёрные лебеди» (англ.: black swans), под которыми понимают «медленное инвариантное многообразие переменной устойчивости».[a 23][a 24][b 3][a 25]
В дальнейшем аналогичные явления были обнаружены и в биологических системах, описываемых уравнениями с частными производными: в модели Зарницыной—Морозовой—Атауллаханова системы свёртывания крови[a 26][a 12] и в модели Алиева—Панфилова миокарда[a 27].
Remove ads
Актуальность очевидным образом обусловлена желанием предотвратить состояния пониженной управляемости транспортным средством.[a 8][a 9]
В кардиофизике рассматривается специальный вид тахикардий, связанных с феноменом бифуркационной памяти.[b 4][b 5]
Высказана гипотеза[a 16], что «жизнь в самой своей сути как раз и является не более чем типичной задержкой потери устойчивости».
Remove ads
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
Remove ads