Loading AI tools
физика Из Википедии, свободной энциклопедии
В теоретической физике, особенно в квантовой теории поля, часто используется бета-функция, характеризующая зависимость константы взаимодействия от энергетического уровня. Сама бета-функция определяется как
Если бета-функция обращается в ноль при особом значении константы взаимодействия, то КТП, константа которой описывается этой бета-функцией, называется масштабно-инвариантной. Зачастую эти теории оказываются ещё и конформно-инвариантны. Такие поля изучаются конформной теорией поля.
Бета-функции обычно считаются в приближении, например с помощью теории возмущений, которая предполагает, что параметры связи чрезвычайно малы. Далее выполняется разложение по степеням и обрезаются более высокие степени (обычно их называют петлями, из-за соответствующего количества петель в диаграммах Фейнмана).
Однопетлевая бета-функция для КЭД определяется как
или с использованием постоянной тонкой структуры
Последняя формула следует из равенства
Решением этого уравнения является функция
Бета-функция говорит о том, что постоянная тонкой структуры возрастает вместе с энергетическим уровнем, она может даже обратиться в бесконечность при конечных энергиях (эти энергии называются полюсом Ландау). Как только бета-функция обращается в бесконечность, теория возмущений перестаёт работать.
Однопетлевая бета-функция для КХД с ароматами кварков и скалярными цветными бозонами
или
Решением этого уравнения является функция
Если , то бета-функция убывает при увеличении энергетического уровня. Этот феномен называется асимптотической свободой.
В КХД используется калибрвочная группа , определяющая 3 цвета. Мы можем обобщить бета-функцию для любого количества цветов N
или
Где — инвариант Казимира второго порядка от калибровочной группы, , где — генераторы алгебры Ли в представлении . Для Майорановских и Вейловских фермионов и заменить на и соответственно. Для калибровочных полей (например глюонных) в сопряжении с , . Для фермионов в фундаментальном представлении , . Тогда для КХД с бета-функция принимает вид представленный выше.
В стандартной модели кварки и лептоны взаимодействуя с полем Хиггса через потенциал Юкавы приобретают массу. Взаимодействия большинства кварков и лептонов мало по сравнению с взаимодействием t-кварка. В динамике их можно описать с помощью бета-функции
где — цветовая константа взаимодействия, которая также является функцией энергии и обладает свойствами асимптотической свободы. Таким образом взаимодействия всех кварков кроме t-кварка чрезывчайно малы при энергиях Великого Объединения (около ГэВ). Аналогично можно вычислить энергии при которых кварки приобретают свои массы — около 100 ГэВ. В стандартной модели предсказанная масса t-кварка 230 ГэВ, в то время как измеренная равна 174 ГэВ, что говорит о том, что возможно существуют другие Хиггсовские бозоны.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.