Аргументы максимизации и минимизации

Аргуме́нт максимиза́ции (argmax или arg max) — значение аргумента, при котором данное выражение достигает максимума. Другими словами, ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)}$ — есть значение ${\displaystyle x}$, при котором ${\displaystyle f(x)}$ достигает своего наибольшего значения. Является решением задачи максимизации функции конечного числа аргументов ^[1]:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}}$.

Аргумент максимизации определяется единственным образом тогда и только тогда, когда максимум достигается в единственной точке: ${\displaystyle x_{0}={\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\Leftrightarrow \max f(x)=f(x_{0})}$.

Если же максимум достигается в нескольких точках, то argmax может быть расширен до набора решений.

Аргуме́нт минимиза́ции (argmin или arg min) — аргумент, при котором данное выражение достигает минимума:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {argmin} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}}$.

Примеры

• ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmax} }}(x(10-x))=5}$, так как максимум функции, равный 25, достигается при ${\displaystyle x=5}$;
• ${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {argmax} }}\,\cos(x)\in \{0,2\pi ,4\pi \}}$, так как ${\displaystyle \max {\cos x}=1}$ на отрезке ${\displaystyle [0,4\pi ]}$ достигается при ${\displaystyle x=0,2\pi ,4\pi }$.

Примечания

1. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — Т. 3. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — 1184 с.: ил.