Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих индексов:

${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }}$

Антисимметричный тензор
Определяющая формула	${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$
Противоположно	симметричный тензор

Если тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов то такой тензор называется абсолютно антисимметричным тензором.

Для любого тензора U, с компонентами ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$, можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$ (симметричная часть),

${\displaystyle U_{[ij]k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$ (антисимметричная часть),

сходно для других индексов.

Под термином «часть» подразумевается, что ${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }}$

Свойства

Свёртка тензора A, который антисимметричен по индексам i и j с тензором B, который симметричен по индексам i и j, равна нулю. Доказательство:

${\displaystyle A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=A_{(ji)k\dots }B_{[ji]k\dots }=-A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=0.}$

Важный антисимметричный тензор в физике — тензор электромагнитного поля F в электромагнетизме.

См. также

• Антисимметричная матрица
• Симметричный тензор
• Дифференциальная форма
• Абсолютно антисимметричный единичный тензор