Аннуитет

Аннуите́т (фр. annuité от лат. annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — график погашения финансового инструмента. Выплаты по аннуитету осуществляются равными суммами через равные промежутки времени. Сумма аннуитетного платежа включает в себя и основной долг, и вознаграждение.

Аннуитетом в широком смысле может называться:

• Один из видов срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты и погашается часть суммы.
• Равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему.
• В страховании жизни — договор со страховой компанией, по которому физическое лицо приобретает право на регулярное получение согласованных сумм, начиная с определённого времени, например, выхода на пенсию^[1].
• Современная стоимость серии регулярных страховых выплат, производимых с определённой периодичностью в течение срока, установленного договором страхования.

Аннуитетный график также может использоваться для того, чтобы накопить определённую сумму к заданному моменту времени. В таком случае на счёт или депозит, по которому начисляется вознаграждение, регулярно вносятся одинаковые суммы.

Виды аннуитетов по времени платежа

По времени выплаты первого аннуитетного платежа различают:

• аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
• аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

Коэффициент аннуитета

Описание

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

${\displaystyle K={\frac {i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$,

где ${\displaystyle i}$ — процентная ставка за один период, ${\displaystyle n}$ — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета (количество операций по капитализации процентов). На практике возможны некоторые отличия от математического расчёта, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа.

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты ${\displaystyle A=K\cdot S}$, где ${\displaystyle S}$ — величина кредита.

Пример расчёта

Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой 12000 долларов по ставке 6 % годовых. Поскольку выплаты будут производиться каждый месяц, необходимо привести процентную ставку из годового значения к месячному:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{100\%+6\%}}-1={\sqrt[{12}]{1,06}}-1\approx 1,00487-1=0,00487=0,487\%}$.

Подставляем в указанную выше формулу следующие значения: ${\displaystyle i=0,00487}$, ${\displaystyle n=36}$. Полученный коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем около 364 долларов 20 центов в месяц.

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка ${\displaystyle i}$. Если выплаты производятся постнумерандо ${\displaystyle m}$ раз в год в течение ${\displaystyle n}$ лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

${\displaystyle K={\frac {({\sqrt[{m}]{1+i}})^{k}}{({\sqrt[{m}]{1+i}})^{k}-1}}\cdot ({\sqrt[{m}]{1+i}}-1)={\frac {({\sqrt[{m}]{1+i}}-1)\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$

или по упрощенной формуле:

${\displaystyle K={\frac {{\sqrt[{m}]{1+i}}-1}{1-(1+i)^{-n}}}}$,

где ${\displaystyle k}$ (всегда показатель степени) — количество периодов = ${\displaystyle n\cdot m}$.

Представленная здесь формула коэффициента аннуитета основана на определении наращенной суммы долга с использованием формулы сложных процентов.

Кредит с аннуитетными платежами

Описание

При заключении кредитного договора стороны договориваются о процентной ставке, сроке кредитования и размере первоначального взноса а также о методике расчета ежемесячных платежей. Некоторые банки разрешают клиентам самим выбирать схему выплат — дифференцированную или аннуитетную. Они отличаются способом начисления и взимания процентов и итоговой суммой кредита. При аннуитете кредит выплачивается равными частями — размер взноса остается неизменным на протяжении всего периода кредитования^[2].

Пример расчёта

Расчёт равных месячных платежей (X), необходимых для выплаты ипотечной ссуды (P) в 100 тыс. руб. с процентной ставкой (r) 10 % годовых/100, взятой на (n) 20 лет.

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{1+r}}\approx 1,007974}$

Месячный платеж ${\displaystyle X={\frac {P({\sqrt[{12}]{1+r}})^{12n}\cdot ({\sqrt[{12}]{1+r}}-1)}{({\sqrt[{12}]{1+r}})^{12n}-1}}={\frac {100000\cdot 1,007974^{240}\cdot (1,007974-1)}{1,007974^{240}-1}}=936,64}$ ;^[3]

Дата	Денежный поток	Проценты	Погашение основного долга	Остаток основного долга
01.01.10	-100000,00			100000,00
01.02.10	936,64	797,41	139,23	99860,77
01.03.10	936,64	796,30	140,34	99720,44
01.04.10	936,64	795,18	141,45	99578,98
01.05.10	936,64	794,06	142,58	99436,40
01.06.10	936,64	792,92	143,72	99292,68
01.07.10	936,64	791,77	144,87	99147,82
...	...	...	...	...
01.10.29	936,64	29,29	907,35	2765,69
01.11.29	936,64	22,05	914,59	1851,11
01.12.29	936,64	14,76	921,88	929,23
01.01.30	936,64	7,41	929,23	0,00

Пример расчёта с учётом количества дней в месяцах и годах

Дата	Денежный поток	Проценты	Формула расчёта процентов	Погашение основного долга	Остаток основного долга
01.01.10	-100000,00				100000,00
01.02.10	936,64	812,77	=(1,1^(31/365)-1)*100000	123,87	99876,13
01.03.10	936,64	732,92	=(1,1^(28/365)-1)*99876,13	203,72	99672,41
01.04.10	936,64	810,11	=(1,1^(31/365)-1)*99672,41	126,53	99545,88
01.05.10	936,64	782,88	=(1,1^(30/365)-1)*99545,88	153,76	99392,12
01.06.10	936,64	807,83	=(1,1^(31/365)-1)*99392,12	128,81	99263,31
01.07.10	936,64	780,65	=(1,1^(30/365)-1)*99263,31	155,99	99107,32
...	...	...	...	...	...
01.10.29	936,64	27,94	=(1,1^(30/365)-1)*3552,24	908,70	2643,54
01.11.29	936,64	21,49	=(1,1^(31/365)-1)*2643,54	915,15	1728,39
01.12.29	936,64	13,59	=(1,1^(30/365)-1)*1728,39	923,05	805,34
01.01.30	811,89	6,55	=(1,1^(31/365)-1)*805,34	805,34	0,00

Итого сумма процентов за 20 лет составляет 124668,85 руб.

Банковский расчёт аннуитета

По сложившейся практике банки зачастую считают аннуитетный платёж по своим формулам.

«Процентные доходы и процентные расходы по размещенным и привлеченным средствам начисляются в порядке и размере, предусмотренными соответствующим договором, на остаток задолженности по основному долгу, учитываемой на соответствующем лицевом счёте на начало операционного дня. При начислении процентных доходов и процентных расходов в расчёт принимаются величина процентной ставки (в процентах годовых) и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году — 365 или 366 дней соответственно, если иное не предусмотрено соглашением сторон»^[4].

Таким образом, механизм начисления процентов банк может установить соглашением сторон достаточно произвольно, например, при котором в каждом месяце 30 дней, в году 12 месяцев, в году 360 дней.

При этом надо понимать, что годовая процентная ставка равна 12-ти среднемесячным процентным ставкам при использовании для расчёта простых процентов, но не равна им при использовании помесячных сложных процентов.

Будущая стоимость аннуитетных платежей

Будущая стоимость аннуитетных платежей предполагает, что платежи осуществляются на приносящий проценты вклад. Поэтому будущая стоимость аннуитетных платежей является функцией как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Будущая стоимость серии аннуитетных платежей (FV) вычисляется по формуле (предполагается сложный процент)

${\displaystyle FV_{\mathrm {annuity} }=X\cdot {(1+r)^{n}-1 \over r}}$,

где r — процентная ставка за период, n — количество периодов, в которые осуществляются аннуитетные платежи, X — величина аннуитетного платежа.

Аннуитет пренумерандо в рассматриваемом случае начисления процентов по аннуитетным платежам, имеет на один период начисления процентов больше. Поэтому формула для вычисления будущей стоимости аннуитета пренумерандо приобретает следующий вид

${\displaystyle FV_{\mathrm {annuity} }=X\cdot {(1+r)^{n}-1 \over r}\cdot {(1+r)}}$

В табличных процессорах в состав финансовых функций входит функция для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей. В OpenOffice.org Calc для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей (как постнумерандо, так и пренумерандо) применяется функция FV.

Расчёт составляющих аннуитета

При простых процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются после полного погашения ОД

Проценты по кредиту = (Сумма ОД х Процентная ставка х Число дней между датами) / (100 х Число дней в году)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.^[5]

При сложных процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются ежемесячно

Проценты по кредиту = Сумма ОД х ((1+Процентная ставка/100)^((Число дней между датами)/ (Число дней в году)) −1)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.^[6]

См. также

• Капитализация процентов
• Процентная ставка
• Дисконтированная стоимость
• Тридцать бессмертных девочек Женевы

Примечания

1. Ефимов С. Л. Аннуитет // Экономика и страхование: Энциклопедический словарь. — Москва: Церих-ПЭЛ, 1996. — С. 5. — 528 с. — ISBN 5-87811-016-4. Архивировано 21 июня 2013 года.
2. Аннуитетный платеж по ипотеке: особенности и подводные камни  (рус.). РБК Недвижимость. Дата обращения: 23 декабря 2021. Архивировано 23 декабря 2021 года.
3. Банковское дело: Учебник для вузов. / Под ред. Г. Белоглазовой, Л. Кроливецкой. — 2-е изд.. — СПб.: Питер, 2010. — С. 240. — 400 с. — ISBN 978-5-91180-733-7.
4. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ БАНК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (БАНК РОССИИ). ПОЛОЖЕНИЕ О порядке определения доходов, расходов и прочего совокупного дохода кредитных организаций // Вестник Банка России : журнал. — 2015. — 13 февраля (№ 12 (1608)). — С. 3. Архивировано 20 сентября 2016 года.
5. Формулы для расчёта досрочного погашения аннуитетного кредита | Калькулятор с досрочным погашением онлайн  (неопр.). mobile-testing.ru. Дата обращения: 13 апреля 2016. Архивировано 22 апреля 2016 года.
6. Аннуитетный платеж  (неопр.). www.mathinary.com. Дата обращения: 11 августа 2017. Архивировано из оригинала 11 августа 2017 года.

Ссылки

• Аннюитет // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Смирнова Е. Ю. Аннуитетные финансовые функции в таблицах Google Docs