Родился в Полтаве в семье врачей Якова Ароновича Азбеля (1909—1990) и Цецилии Исаевны Слободкиной (1908—1951). С 1941 года находился в эвакуации в Новосибирске. В 1944 году семья поселилась в Харькове, где отец работал в НИИ протезирования. В 1948 окончил среднюю школу и в том же году поступил в Харьковский университет, после окончания которого преподавал математику в вечерней школе.

В 1955 году под руководством И. М. Лифшица защитил кандидатскую диссертацию по теме «К кинетической теории проводимости металлов» и начал работать в Харьковском физико-техническом институте. В 1958 году защитил докторскую диссертацию по теме «Теория высокочастотной проводимости металлов в постоянном магнитном поле». На защите диссертации Л. Д. Ландау сказал: «У диссертанта есть только один недостаток, но от него он избавится без нашей помощи. Это — молодость».

В 1964—1972 годах преподавал в МГУ (профессор геологического факультета) и по совместительству заведовал сектором в институте теоретической физики имени Ландау.

В 1972 году подал заявление на выезд в Израиль. В 1972—1977 годах — профессор Московского инженерно-физического института.

В 1973 году, за четыре года до выезда из Советского Союза, был принят на работу в Тель-Авивский университет (лекции читал по телефону). В 1970-х годах — один из участников движения отказников в СССР. В течение двух лет редактировал политический и литературный журнал «Евреи в СССР» (с 1972 по 1980 вышло 20 номеров), основанный Александром Воронелем.

В 1977 году эмигрировал из СССР. Был профессором Тель-Авивского университета.

Умер в Израиле 31 марта 2020 года.^[9]

Основные работы связаны с электронной теорией металлов.

Предсказал существование статического скин-эффекта (1963) ^[10].

Совместно с Э. А. Канером теоретически предсказал циклотронный резонанс в металлах^[3][4] и разработал его теорию (1955, резонанс Азбеля — Канера, зарегистрировано как открытие в Государственном реестре открытий СССР в 1966 году).

Предсказал резкое изменение поведения электронов в металлах при исчезающе малом изменении магнитного поля (1964, проблема Азбеля — Хофштадтера).

Открыл (совместно с Э.А. Канером и В.Ф. Гантмахером) аномальное проникновение в металл высокочастотного электромагнитного поля.

Предсказал, что диамагнетизм Ландау приводит к возникновению пространственной сверхструктуры.

В работах по сверхпроводимости предсказал существование квантовых осцилляций и резонансов (резонансы Азбеля).

Занимался исследованиями бабочки Хофштадтера; модель спектра почти оператора Матье (модель Азбеля — Хофштадтера)^[11][12] была разработана М. Я. Азбелем в 1964 году и графически представлена в виде геометрической структуры Д. Хофштадтером в 1976 году.

После эмиграции занимался квантовой физикой, проявлял интерес также и к теоретической биологии^[13]. В частности, разрабатывал феноменологическую теорию эволюции смертности^[14][15] (модель Азбеля используется при составлении актуарных таблиц смертности)^[16], занимался статистическим анализом структуры и физических свойств ДНК^[17][18].

Премия им. Ломоносова (СССР, 1966, 1968).

Премия им. Ландау (Израиль, 1989). 

Приз им. А. Гумбольдта (Германия, 2001).

• И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971. — 416 с^[19].
• В 1973 году эта же книга была издана повторно в переводе на английский.
• Refusenik, trapped in the Soviet Union / Mark Ya. Azbel; edited by Grace Pierce Forbes. Перевод заглавия c английского: «Положение евреев в СССР». Издано на английском: Boston: Houghton Mifflin co., 1981, 513 c. ISBN 0-395-30226-9
• Эта же книга была издана повторно. Исходные данные: New York : Paragon House Publishers, 1987.
• Иерусалимские размышления // Природа. — 1991. — № 10. — С. 82—90.