Шестнадцатиячейник

Пра́вильный шестнадцатияче́йник, или просто шестнадцатияче́йник^[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб^[2] (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.

Шестнадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,4}
Ячеек	16
Граней	32
Рёбер	24
Вершин	8
Вершинная фигура	Правильный октаэдр
Двойственный политоп	Тессеракт

Проекция вращающегося шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство

Развёртка

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[3]. Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.

Описание

Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности ${\displaystyle 120^{\circ }.}$

Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.

Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных октаэдрических пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями, — либо как четырёхмерную дуопирамиду^[англ.], построенную на двух квадратах.

В координатах

Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты ${\displaystyle (\pm 1;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 1;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;\pm 1;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;\pm 1).}$

При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.

Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек ${\displaystyle (x;y;z;w),}$ чьи координаты удовлетворяют уравнению

${\displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|=1,}$

а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых

${\displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|<1.}$

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 1{,}8856181a^{3}.}$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\approx 0{,}3535534a.}$

Заполнение пространства

Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Примечания

1. Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
2. Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44. (Архивная копия от 27 января 2021 на Wayback Machine)
3. George Olshevsky. Hexadecachoron // Glossary for Hyperspace.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Шестнадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.