Loading AI tools
уравнение Кадомцева — Петвиашвили Из Википедии, свободной энциклопедии
В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:
где . Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.
Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо[1][2][3][4][5]. Оно также может быть решено с помощью обратного преобразования рассеяния[англ.], как и нелинейное уравнение Шрёдингера[6].
Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.
Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется ; если же поверхностное натяжение сильное, то . Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).
Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах[7], а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.
Для , типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны , что даёт сингулярный предельный режим в виде . Предел называется бездисперсионным[англ.] пределом.[8][9][10]
Если мы также предположим, что решения не зависят от y при , то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:
Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дейви-Стюартсона[англ.].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.