Уплощённая большая клинокорона

Уплощённая больша́я клинокоро́на^[1][2] — один из многогранников Джонсона (J₈₉, по Залгаллеру — М₂₁).

Уплощённая большая клинокорона
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	21 грань 33 ребра 14 вершин Χ = 2
Грани	18 треугольников 3 квадрата
Конфигурация вершины	4(32.42) 2+2x2(35) 4(34.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J89, М21
Группа симметрии	C2v
Медиафайлы на Викискладе

Составлена из 21 грани: 18 правильных треугольников и 3 квадратов. Среди квадратных граней 1 окружена двумя квадратными и двумя треугольными, другие 2 — квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 8 окружены квадратной и двумя треугольными, остальные 10 — тремя треугольными.

Имеет 33 ребра одинаковой длины. 2 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 8 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 23 — между двумя треугольными.

У уплощённой большой клинокороны 14 вершин. В 4 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 4 вершинах — квадратная и четыре треугольных; в остальных 6 — пять треугольных.

Метрические характеристики

Если уплощённая большая клинокорона имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(3+{\frac {9{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 10{,}7942286a^{2},}$

${\displaystyle V\approx 2{,}9129a^{3}.}$

В координатах

Уплощённую большую клинокорону с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты^[2]

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 1;\;2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm \left(1+2\xi \right);\;\pm 1;\;0\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {2-4\xi }{1-\xi }}}\right);\;{\frac {1-\xi -2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;0;\;-{\sqrt {3-4\xi ^{2}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm {\frac {{\sqrt {(3-4\xi ^{2})(2-4\xi )}}+{\sqrt {1+\xi }}}{2(1-\xi ){\sqrt {1+\xi }}}};\;{\frac {(2\xi -1){\sqrt {3-4\xi ^{2}}}}{4(1-\xi )}}-{\frac {\sqrt {2-4\xi }}{2(1-\xi ){\sqrt {1+\xi }}}}\right),}$

где ${\displaystyle \xi \approx 0{,}2168448}$ — второй по величине после наибольшего^[3] действительный корень уравнения

${\displaystyle 26880x^{10}+35328x^{9}-25600x^{8}-39680x^{7}+6112x^{6}+13696x^{5}+2128x^{4}-1808x^{3}-1119x^{2}+494x-47=0.}$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
2. А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда. (PDF) Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 195—197. (Архивная копия от 30 августа 2021 на Wayback Machine)
3. См. корни данного уравнения.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Уплощённая большая клинокорона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Уплощённая большая клинокорона в базе знаний Wolfram Alpha
• NASA — What in the World is Hebesphenomegacorona? — бумажная модель уплощённой большой клинокороны на борту Международной космической станции