Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.
Пределы и копределы, как и тесно связанные с ними понятия универсального свойства и сопряжённых функторов являются понятиями высокого уровня абстракции. Чтобы лучше их понять, полезно сначала изучить примеры конструкций, которые эти понятия обобщают.
Пределы и копределы определяются при помощи диаграмм. Диаграмма типа J в категории C — это функтор:
Категория J является индексирующей категорией и функтор F играет роль разметки объектов и морфизмов категории C в терминах категории J. Наибольший интерес представляет случай, когда J — малая или конечная категория. В этом случае диаграмма F : J → C называется малой или конечной.
Пусть F : J → C — диаграмма типа J в категории C.Конус[англ.] над F — это такой объект N в C вместе с семейством морфизмов ψX : N → F(X), индексированных объектами X из категории J, такой что для любого морфизма f : X → Y в J верно, что F(f) o ψX = ψY.
Предел диаграммы F : J → C — это конус (L, φ) над F такой, что для любого конуса (N, ψ) над F существует единственный морфизм u : N → L, такой что φX o u = ψX для всех X в J.[1]
Аналогичным образом определяется понятие копредела — нужно обратить все стрелки. А именно:
Коконус диаграммы F : J → C — это объект N категории C вместе с семейством морфизмов:
для каждого X в J, такой, что для любого морфизма f : X → Y в J верно ψY o F(f) = ψX.
Копредел диаграммы F : J → C — это коконус (L, φ) такой, что для любого другого коконуса (N, ψ) существует единственный морфизм u : L → N, такой, что u o φX = ψX для всех X в J.
Как и любые универсальные объекты, пределы и копределы не всегда существуют, но если существуют, то определены с точностью до изоморфизма.
Определение категорного предела достаточно широкое, чтобы обобщить иные часто используемые категорные конструкции. В примерах рассматривается предел (L, φ) диаграммы F : J → C.
Говорят, что категория имеет пределы типа J, если любая диаграмма типа J имеет предел.
Категория называется полной, если она имеет предел для любой малой диаграммы (то есть диаграммы, элементы которой образуют множество). Аналогично определяются конечно полные и кополные категории.
Рассмотрим категорию C с диаграммой J. Категорию функторов CJ можно считать категорией диаграмм типа J в C. Диагональный функтор — это функтор, отображающий элемент N категории C в постоянный функтор Δ(N) : J → C, отображающий всё в N.
Для данной диаграммы F: J → C (понимаемой как объект CJ), естественное преобразование ψ : Δ(N) → F (понимаемое как морфизм категории CJ) — то же самое, что конус из N в F. Компоненты ψ — морфизмы ψX : N → F(X). Определения предела и копредела можно переписать как[3]:
Функтор G : C → D индуцирует отображение из Cone(F) в Cone(GF). G сохраняет пределы в F, если (GL, Gφ) — предел GF, когда (L, φ) — предел F[4]. Функтор G сохраняет все пределы типа J, если он сохраняет пределы всех диаграмм F : J → C. Например, можно говорить, что G сохраняет произведения, уравнители и т. д. Непрерывный функтор — это функтор, сохраняющий все малые пределы. Аналогичные определения вводятся для копределов.
Важное свойство сопряжённых функторов — то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывен[5].
Функтор G : C → D поднимает пределы для диаграммы F : J → C если из того, что (L, φ) — предел GF следует, что существует предел (L′, φ′) в F, такой что G(L′, φ′) = (L, φ)[6]. Функтор G поднимает пределы типа J, если он поднимает пределы для всех диаграмм типа J. Существуют двойственные определения для копределов.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.