Правильные многомерные многогранники

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

История

Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.^[1]

Определение

Флагом n-мерного многогранника ${\displaystyle P}$ называется набор его граней ${\displaystyle F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{n-1})}$, где ${\displaystyle F_{i}}$ есть ${\displaystyle i}$-мерная грань многогранника Р, причем ${\displaystyle F_{i}\subseteq F_{n-1}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$.

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник ${\displaystyle P}$, у которого для любых двух его флагов ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$ найдётся движение ${\displaystyle P}$, переводящее ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle F'}$.

Классификация

Размерность 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название	Изображение (диаграмма Шлегеля)	Символ Шлефли	Ячейка	Число ячеек	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Пятиячейник		{3,3,3}	правильный тетраэдр	5	10	10	5
Тессеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
Шестнадцатиячейник		{3,3,4}	правильный тетраэдр	16	32	24	8
Двадцатичетырёхячейник		{3,4,3}	октаэдр	24	96	96	24
Стодвадцатиячейник		{5,3,3}	додекаэдр	120	720	1200	600
Шестисотячейник		{3,3,5}	правильный тетраэдр	600	1200	720	120

Размерности 5 и выше

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Название	Символ Шлефли
n-мерный правильный симплекс	{3;3;...;3;3}
n-мерный гиперкуб	{4;3;...;3;3}
n-мерный гипероктаэдр	{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}}$, определяется по формуле^[2][3][4]:

${\displaystyle \sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}}$

где ${\displaystyle \beta }$ — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы:

${\displaystyle r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },}$

где ${\displaystyle r_{N-1}}$ — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

${\displaystyle V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},}$

где ${\displaystyle V_{N-1}}$ — объём (N-1)-мерной грани, ${\displaystyle A_{N-1}}$ — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения

В размерности n = 4

• Тессерактовые соты^[англ.]
• Шестнадцатиячейниковые соты^[англ.]
• Двадцатичетырёхячейниковые соты^[англ.]

В размерности n ≥ 5

• Гиперкубические соты

См. также

• Платоново тело
• Список правильных многогранников и соединений

Примечания

1. Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.
2. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
3. Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с. Архивировано 5 мая 2016 года.
4. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Ссылки

• Наглядный пример на YouTube
• Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D  (неопр.) (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано из оригинала 4 мая 2012 года.

• Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2.

• Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.