Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Перестановочный многогранник (или пермутоэдр) порядка — это ()-мерный выпуклый многогранник, вложенный в -мерное евклидово пространство, который является выпуклой оболочкой точек, получающихся перестановками координат вектора .
Согласно Циглер, Гюнтер[1], перестановочный многогранник впервые появляется в работах Шутэ в 1911 году. Сам термин «перестановочный многогранник» (точнее, его французский вариант «permutoèdre») впервые появился в статье Гуибуда (G.-T.Guibaud) и Розенштэхл, Пьер в 1963 году. Предлагая его, авторы писали, что «permutoèdre» выглядит варварски, но легко запоминается и что они оставляют использование этого термина на усмотрение читателя.
Близким понятием является многогранник Биркгофа, определяемый как выпуклая оболочка матриц перестановок. В более общей ситуации Боуман (V.-J.Bowman) в 1972 году использовал термин «перестановочный многогранник» («permutation polytope») для любого многогранника, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с перестановками некоторого множества.
Перестановочный многогранник порядка n полностью содержится в (n − 1)-мерной гиперплоскости, состоящей из всех точек, сумма координат которых равна
Более того, эта гиперплоскость может быть замощена (англ.) бесконечным количеством параллельных копий перестановочного многогранника. Каждая из этих копий отличается от исходного перестановочного многогранника на элемент некоторой (n − 1)-мерной решётки, образованной n-мерными векторами, все координаты которых целочисленные, их сумма равна нулю, причём все координаты принадлежат одному классу вычетов по модулю n:
Например, перестановочный многогранник порядка 4, изображённый на рисунке, замощает 3-мерное пространство посредством параллельных переносов. Здесь 3-мерное пространство рассматривается как аффинное подпространство 4-мерноего пространства R4 с координатами x, y, z, w, которое образовано четвёрками вещественных чисел, сумма которых равна 10, то есть
Легко проверить, что для каждого из следующих четырёх векторов
сумма координат равна нулю и все координаты сравнимы с 1 по модулю 4. Любые три из этих векторов порождают решётку параллельных переносов.
Замощения, построенные таким способом из перестановочных многогранников порядка 3 и 4, являются замощением правильными шестиугольниками и замощением усечёнными октаэдрами (англ.) соответственно.
Порядок 2 | Порядок 3 | Порядок 4 |
---|---|---|
2 вершины | 6 вершин | 24 вершины |
Перестановочный многогранник порядка 2 — это отрезок на диагонали единичного квадрата. | Перестановочный многогранник порядка 3 — это правильный шестиугольник, являющийся сечением 2×2×2 куба. | Перестановочный многогранник порядка 4 — это усечённый октаэдр. |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.