Магнитостатика

Магнитоста́тика — раздел классической электродинамики, в котором изучаются свойства стационарного магнитного поля (поля постоянных электрических токов или постоянных магнитов)^[1], рассматриваются способы расчета магнитного поля постоянных токов и анализируется взаимодействие токов посредством создаваемых ими полей.

Приближение магнитостатики

Реальные электромагнитные поля всегда в какой-то мере изменяются со временем. Для их описания существуют уравнения Максвелла. Под приближением магнитостатики (случаем магнитостатики) на практике понимают достаточно медленное изменение полей, чтобы можно было считать их постоянными с приемлемой точностью и оперировать более простыми уравнениями.

Магнитостатика вместе с электростатикой представляют собой подобласти электродинамики; их подходы можно использовать совместно и независимо, поскольку расчет электрического и магнитного полей в этом случае не имеет взаимозависимостей.

В рамках магнитостатики изучается как ситуация вакуума, так и ситуация магнитной среды — магнетика. При этом любая среда рассматривается макроскопически, то есть поля на атомных масштабах усредняются, молекулярные токи и магнитные моменты рассматриваются только в их совокупности.

Базовый теоретический аппарат

Основу теоретического аппарата магнитостатики составляют два уравнения Максвелла, которые могут быть записаны в дифференциальной:

${\displaystyle \mathrm {div} {\vec {B}}=0\,}$ (СИ, СГС)

${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {H}}={\vec {j}}\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad \mathrm {rot} {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}\,{\vec {j}}\,}$ (СГС)

или интегральной:

${\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=0}$ (СИ, СГС)

${\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {L}}=\int {\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad \oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {L}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}\,}$ (СГС)

форме. Здесь ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — вектор магнитной индукции, ${\displaystyle {\vec {H}}}$ — вектор напряжённости магнитного поля, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — плотность тока проводимости, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме, ${\displaystyle d{\vec {L}}}$ — элемент контура интегрирования, ${\displaystyle d{\vec {S}}}$ — векторный элемент площадки. Интегрирование в левых частях формул для ${\displaystyle {\vec {H}}}$ выполняется по произвольному замкнутому контуру, а в правых по произвольной поверхности, натянутой на этот контур.

Напряжённость и вектор индукции связаны соотношением

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$ (СГС),

где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная постоянная, ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость среды (в общем случае зависящая от координат, а иногда и от величины ${\displaystyle H}$; для вакуума ${\displaystyle \mu =1}$).

Расчёт магнитного поля

Наиболее общий случай

В общем случае, поле в задачах магнитостатики при известном распределении токов находится по выписанным выше формулам. Обычно для этого требуются численные методы, но в ситуациях высокой симметрии (скажем, для цилиндирчески-симметричных плотностей токов и магнитных свойств среды: ${\displaystyle {\vec {j}}=j(R){\vec {e}}_{z}}$, ${\displaystyle \mu =\mu (R)}$, где ${\displaystyle R}$ — расстояние от некоей оси, ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$ — орт вдоль этой оси) возможны аналитические решения. Для ситуации вакуума есть особые техники расчета.

Закон Био—Савара для вакуума

Основная статья: Закон Био — Савара — Лапласа

Для вакуума магнитостатическое поле может быть вычислено с применением закона Био — Савара, задающего величину магнитного поля, генерируемого в данной точке элементом тока (${\displaystyle I\,d{\vec {l}}}$, если элемент линейный, ${\displaystyle {\vec {j}}dV}$, если объёмный):

${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left[d{\vec {l}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad d{\vec {B}}={\frac {I}{c}}{\frac {\left[d{\vec {l}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}\,}$ (СГС)

${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad d{\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}\,}$ (СГС),

где ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — вектор, проведённый из элемента тока в точку, где определяется магнитное поле.

Уравнения магнитостатики для вакуума линейны^[2], что позволяет использовать принцип суперпозиции:

${\displaystyle {\vec {B}}=\int d{\vec {B}}}$,

то есть осуществлять суммирование (интегрирование) по вкладам отдельных элементов в поле.

Метод магнитных зарядов

Основная статья: Магнитный заряд

Для расчёта магнитного поля в магнитостатике можно пользоваться (и часто это весьма удобно) понятием магнитного заряда, вводящим аналогию магнитостатики с электростатикой и позволяющим применять в магнитостатике формулы, аналогичные формулам электростатики — но не для электрического, а для магнитного поля. Обычно (за исключением случая теоретического рассмотрения гипотетических магнитных монополей) подразумевается лишь чисто формальное использование, так как в реальности магнитные заряды не обнаружены. Такое формальное использование (фиктивных) магнитных зарядов возможно благодаря теореме эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов. Фиктивные магнитные заряды можно использовать при решении разных задач как в качестве источников магнитного поля, так и для определения действия внешних магнитных полей на магнитное тело (магнит, катушку).

Комментарий о ситуации в среде

С микроскопической точки зрения среда состоит из частиц (молекул и др.), находящихся в вакууме. Гипотетически можно было бы всегда пользоваться уравнениями Максвелла для вакуума, приравняв ${\displaystyle \mu }$ всюду единице. Однако, чтобы так сделать, нужно было бы в ${\displaystyle {\vec {j}}}$ охватывать все токи (в том числе микротоки, обеспечивающие магнитную поляризацию вещества (молекулярные токи), которые обычно заранее неизвестны. Из-за этого, в частности, сфера применения закона Био—Савара ограничена только ситуацией отсутствия среды.

Поэтому в магнитостатике (и в электродинамике вообще) принят иной подход, когда под полем ${\displaystyle {\vec {B}}}$ понимается макроскопическое поле, иначе говоря, поле, усреднённое по малому (но всё же содержащему достаточное число молекул) объёму среды. При этом под ${\displaystyle {\vec {j}}}$ подразумевается именно ток проводимости. Молекулярный же ток ${\displaystyle {\vec {j}}_{mol}}$учитывается величиной намагниченности ${\displaystyle {\vec {M}}}$, входящей в соотношениe

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}\,}$ (CИ) ${\displaystyle \qquad {\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {M}}\,}$ (СГС),

где

${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {M}}={\vec {j}}_{mol}\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad \mathrm {rot} {\vec {M}}=c^{-1}{\vec {j}}_{mol}\,}$ (СГС).

Формально, получается, что всё, касающееся конкретной среды, «спрятано» в единственную зависимость — зависимость намагниченности от намагничивающего поля (то есть, в принципе, в одну-единственную формулу)^[3] вида ${\displaystyle {\vec {M}}=f({\vec {H}})=\chi _{m}{\vec {H}}}$. Здесь ${\displaystyle \chi _{m}}$ — магнитная восприимчивость (не обязательно постоянная), при этом ${\displaystyle \mu =1+\chi _{m}}$ (СИ) или ${\displaystyle \mu =1+4\pi \chi _{m}}$ (СГС).

Расчёт силы взаимодействия

Основные статьи: Сила Лоренца и Закон Ампера

Выражение для силы Лоренца (силы, с которой на движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле) имеет вид

${\displaystyle {\vec {F}}=q^{*}\left[{\vec {v}}^{*}\times {\vec {B}}\right]\,}$ (СИ) ${\displaystyle \qquad {\vec {F}}={\frac {q^{*}}{c}}\left[{\vec {v}}^{*}\times {\vec {B}}\right]\,}$ (СГС),

где ${\displaystyle q^{*}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}^{*}}$ — величина заряда и скорость заряженной частицы, играющей в этом контексте роль пробного тела.

Формула для силы Ампера (с которой на элемент ${\displaystyle I^{*}d{\vec {l}}^{*}}$ контура с «пробным» током ${\displaystyle I^{*}}$ действует магнитное поле) записывается:

${\displaystyle d{\vec {F}}=I^{*}\left[d{\vec {l}}^{*}\times {\vec {B}}\right]\,}$ (CИ) ${\displaystyle \qquad d{\vec {F}}={\frac {I^{*}}{c}}\left[d{\vec {l}}^{*}\times {\vec {B}}\right]\,}$ (СГС).

Реально поле ${\displaystyle {\vec {B}}}$ может создаваться неким другим контуром, то есть последняя формула фактически задаёт силу взаимодействия.

Выражения, описывающие действие поля на движущийся заряд (силы Лоренца) или на ток (силы Ампера), для магнитных сред и для вакуума имеют один и тот же вид.

Примечания

1. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1984 (стр. 383).
2. Нелинейность может возникать только для уравнений для среды (в соотношении между ${\displaystyle {\vec {B}}}$ и ${\displaystyle {\vec {H}}}$).
3. В электродинамике в общем случае это труднее, прежде всего, по той причине, что поведение среды в поле, зависящем от времени, в принципе, гораздо сложнее, чем в постоянном поле.